Kurvendiskussion: Steigung im Schnitpunkt mit der x Achse und Schnittwinkel ; f(x) = x^3-3x^2-x+3

Question

f(x) = x^3-3x^2-x+3 --> komme bei diesem 2 teilaufgaben nicht weiter. Alles andere wie Ableitungen, Maxima; Wendepunkte habe ich bereits. Kann mir jemand das verfahren erklären. Brauche nicht die Lösung sondern einen Ansatz.

a) Bestimmen Sie die Steigung der Funktion bei x=3. Berechnen Sie den jeweiligen Schnittwinkel.

b)Welche Steigung liegt im Wendepunkt vor? Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente.

Vielen lieben Dank :)

Answer 1

Bestimmen Sie die Steigung der Funktion bei x=3. Berechnen Sie den jeweiligen Schnittwinkel.

Gesucht ist  f ' (3)  und das ist gleich.

Also gilt für den Steigungswinkel α an dieser Stelle   tan(α) = 8

also α = 82,9°

Genauso am Wendepunkt.

x-Wert in die Ableitung einsetzen und du hast die Steigung.

Comments

ist das auch der schnittwinkel mit der x achse? weil dieser nebensatz in der aufgabenstellung hat mich verwirrt...

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Ja, das ist der Winkel mit jeder Parallelen zur x-Achse.

Answer 2

Wenn du die Steigung einer Funktion in einem Punkt wissen willst, musst du die Stelle in die erste Ableitung einsetzen. Um die Steigung in einen Winkel umzurechen benutzt du den arctan(m) und bekommst den Winkel in Grad heraus. Die Steigung ist nämlich das Verhältnis von Δy/Δx, also sin(x)/cos(x).

Wenn du den Wendepunkt suchst, brauchst du die zweite Ableitung und berechnest von ihr die Nullstelle(n). Also f''(x)=0. Dann willst du ja die Steigung an dieser Stelle wissen. Also setzt du diese Nullstelle in die erste Ableitung ein. Jetzt kennst du die Steigung und brachst noch einen Punkt für deine Gerade (hier genannt als Wendetangente). Den bekommst du durch die Nullstelle deiner zweiten Ableitung raus. Jetzt brauchst du noch die Y-Koordinate, um den Wendepunkt zu erhalten. Dafür einfach die Nullstelle in die Ausgangsfunktion einsetzen.

Jetzt stellt man mittels dem erhaltenen Wendepunkt und der Steigung eine Geradengleichung auf. Den Y-Acshenabschnitt (oft als n benannt) kriegst du durch Einsetzen des Punktes und der Steigung in die allgemeine lineare Gleichung durch Umstellen nach n raus.

Comments

ist das auch der schnittwinkel mit der x achse? weil dieser nebensatz in der aufgabenstellung hat mich verwirrt...

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Ja, das ist richtig.

Answer 3

f ( x ) = x^3-3x^2-x+3
f ´( x ) = 3*x^2 - 6 * x-1
f ´´ ( x) = 6 * x- 6

Wendepunkt
6 * x- 6 = 0
x = 1

Berührpunkt von Funktion und Tangente
t ( x ) = m * x + b
t´ ( x ) = m
Es gilt
f ( x ) = t ( x )  | Koordinaten sind gleich
f ´( x ) = t ´( x ) = m | Steigung ist gleich

f ´ ( x ) = t ´ ( x ) = m
f ´ ( 1 ) = 3* 1 ^2 - 6 * 1 -1
m = - 4

f ( x ) = t ( x )
1 ^3-3*1 ^2 - 1+ 3 = -4 * 1 + b
b = 4

Wendetangente
t ( x ) = -4 * x + 4