Kongruenz einer Quadratzahl

Question

Ich muss folgende Aussage zeigen:

Für jedes z∈ℤ gilt z² ≡ 0, 1 oder 4 (mod 8)

Jemand eine Ahnung wie das funktioniert?

Comments

Es gibt ja nicht so viele achter Reste...

Answer 1

z selbst kann beimTeilen durch 4  den Rest 0,1, 2 oder 3 lassen.

Sei der Rest 0. Dann ist z=4k und z² hat den Rest 0 beim Teilen durch 8

Sei der Rest 1. Dann ist z=4k+1 und z² = (4k+1)²=16k²+8k+1. Der Rest beim Teilen durch 8 ist 1.
Sei der Rest 2. Dann ist z=4k+2 und z² = (4k+2)²=16k²+16k+4; Der Rest beim Teilen durch 8 ist 4

Sei der Rest 3. Dann ist z=4k+3 und z² = (4k+3)²=16k2+24k+9; Der Rest beim Teilen durch 8 ist 1.

Andere Fälle gibt es nicht.