Question

Wieso kann a*7 + 3 keine Quadratzahl sein?  

mfg legendär

Comments

Wenn man schon a =einsetzt kommt raus. Also kann es keines mehr sein. Hab mich vertippt. Also a>=0 muss schon mal virgesagt werden.

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Ja. Das stimmt

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Wo ist die antwort hin?

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Ja, das frag ich mich auch...

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Immai: hattest du nicht Schwierigkeiten mit dem Hochladen deiner Antworten, wenn da Ungleichzeichen drinn sind? Vielleicht gibt's da noch ein anderes Zeichen, das deine Antworten frisst.

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Könnte glad sein ,ja.als ich mal versucht habe sparprodukt einzugeben hat er es nicht aus gegeben. Musste dazwischen immer ein leerzeichen setzen sonst ging es nicht.

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Komisch oder^^. Aber ich hätte ehrlich gesagt auch a^2=7a+3 gemacht und dann mnf angewendet.

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Ich hatte die Antwort ausgeblendet, da sie a^2 angenommen hat - und die Frage damit nicht beantwortet war.

Die Antwort habe ich jetzt wieder eingeblendet für euch, jedoch beantwortet sie nicht explizit die Frage oben.

Liebe Grüße
Kai

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Die Bedingung sollte lauten

b^2 = 7·a + 3

Und hier sollte es dann keine Lösung für natürliche Zahlen geben. 

a = (b^2 - 3)/7

Das b^2 - 3 nicht durch 7 teilbar ist könnte man jetzt eventuell mit vollständiger Induktion zeigen.

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Wieso b^2?. Wieso nicht a? Ich werde mal um zu üben die induktion versuchen^^ weil das kommt bei 7ns bald auch dran.

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Annahme 7·a + 3 sei eine Quadratzahl. Dann gilt

b^2 = 7·a + 3

Weil ja nur b^2 eine Quadratzahl ist. b wäre nur eine Zahl.

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Das mit b^2 ist mir schon klar. Nur wieso nicht wieder a benützen?

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Weil 7·a + 3 irgendeine Quadratzahl sein soll und nicht zufällig das Quadrat von a.

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Tut mir leid aber wieso nicht? Ich hab irgendwie ein hänger

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Weil dort steht

Wieso kann a*7 + 3 keine Quadratzahl sein?

und nicht

Warum kann a*7 + 3 nicht das Quadrat von a sein?

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Meinen sie es so beispiel mit a=1. B^2=7×1+3. B^2=10. So klappt es irgendwie nicht oder?. Ok aber ich schaffe es mit einem zahlen beispiel aber nicht.

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Das soll ja auch für kein a und b gehen. egal welche Werte du für a oder b einsetzt. Das soll man ja laut der Aufgabe zeigen.
Hm. Hast du überhaupt die Aufgabe gelesen bzw. verstanden?

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immai meint wahrscheinlich, dass b^2 = a^2 sein könnte. Damit wäre die Lösung unten eine mögliche Version dafür, dass a*7+3 eine Quadratzahl ergeben kann. lg Kai

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Also zunächst mal sind Quadratzahlen Zahlen, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entstehen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratzahl

Also damit sind die Zahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... gemeint.

b^2 = 10 ergibt sich zwar aus wurzel 10 mal wurzel 10 aber ich schrieb b^2 für eine quadratzahl und damit b ∈ Z.

Jetzt gibt es natürlich eine Lösung für a ∈ R

100 = 7·a + 3
a = 97/7

Das ist ja witzlos. Vor allem weil zu zeigen ist das a*7 + 3 keine Quadratzahl sein kann. Von daher muss man hier wohl annehmen das a ∈ N oder a ∈ Z gemeint ist.

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Wir legen also fest wie erwartet: 7*a + 3 = b^2 und a, b ∈ ℤ

Es soll also gezeigt werden: b ≠ √(7*a + 3) für a, b ∈ ℤ

Wir müssen also nachweisen, dass √(7*a + 3) keine Ganze Zahl ergeben kann.

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Eine ganze Zahl wäre rational, also durch einen Bruch darstellbar.

Weisen wir also nach, dass √(7*a + 3) nicht rational, sondern irrational ist (indirekter Beweis).

√(7*a + 3) = p / q    | sei rational, also als Bruch p / q darstellbar

→ es gilt: p und q sind teilerfremd

√(7*a + 3) = p / q    | ()^2

(7*a + 3) = p^2 / q^2

(7*a + 3) * q^2 = p^2

7*a*q^2 + 3*q^2 = p^2

Ist p^2 nun gerade oder ungerade?

Danach ist zu prüfen, ob q^2 gerade oder ungerade ist.

Wenn beide nachher gerade sind oder beide ungerade sind, dann widerspricht das der Annahme, dass p und q teilerfremd sind. Der Widerspruch sagt uns, dass √(7*a + 3) nie eine Ganze Zahl ergibt.

Reicht das als erster Ansatz?

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Vorhin war es nur ein Missverständnis, jetzt ist es richtig falsch.

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Ja so hatte ich es verstanden. Das linke und rechte die selbige quadratzahl ergeben muss.

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Achso und ich dachte das in dem fall die zahln z.b. 2 auch eine sein soll da die wuzel 4 eine 2 ergibt. Und somit alle zahlen >=0 gelten. Danke.

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Haha. Leider ist die sache hier etwas durcheinander geraten(zum mindestens auf meinem handy^^). Kann der fragesteller die aufgabenstellung bitte ganz reinstellen?.a=(b^2-3)/7 kann man das jetzt mit induktion zeigen? Ich wuerde es versuchen mit der annahme A(n)=>n+1 nachzuweisen reicht dieser ansatz auch?.danke.

Answer 1

Angenommen es gäbe eine Quadratzahl n² mit n²=7a+3 für ein geeignetes a, dann wäre auch $$n^2\equiv 3 \mod 7$$. Es muss also nur gezeigt werden, dass 3 keine Quadratzahl modulo 7 ist. Das könnte man mit dem Legendre/Jacobi-Symbol machen, oder man bestimmt einfach per Hand alle Quadrate modulo 7: 0,1,4,2.

Comments

wenn n eine Quadratzahl ist, ist n² eine vierte Potenz

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Leider kann ich den Text nicht mehr ändern. Da sollte stehen: Angenommen es gäbe eine Quadratzahl n² ...

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Endlich hat mal jemand diese Aufgabe gelöst

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Aber wie genau kann man das jetzt mit dem Legendre-Symbol machen?

Answer 2

Diese Lösung geht davon aus, dass du meinst: a^2 = a*7 + 3

Dann stellst du um zu:

a^2 - 7*a - 3 = 0

Jetzt kannst du die p-q-Formel benutzen, um die quadratische Gleichung aufzulösen.

Ergebnisse sind gerundet:

a₁ = 7,405

a₂ = -0,405

Probe mit a₁:

a*7 + 3 = y

7,405*7 + 3 = y

y = 54,835

√54,835 = 7,405

 

Wenn du dich jedoch im Rahmen der Ganzen Zahlen bewegst, so gibt es hier keine Lösung.

Schöne Grüße
Kai

 

PS: Zeichne die beiden Terme als zwei Funktionsgraphen. Dann siehst du die beiden Schnittpunkte (x-Werte sind die Lösungen).

 

Lösungsweg p-q-Formel:

Programm hier: https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung#programme

Comments

Wieso a^2 = 7*a + 3 (wieso zweimal a)? Warum sind diese Zahlen gleich?

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Ah du hast Recht. Ich hatte angenommen, dass die Variable a als Lösung a^2 vorkommt.

Damit ist die Frage noch offen.