Eisenbahnmetrik - Konvergenz

Question

Hallo die Metrik $$ d_E $$ im $$ \mathbb{R^2} $$ ist gegeben mit $$ d_E(x,y) = ||x-y||_2  $$ wenn x und y auf einer Geraden durch den Ursprung liegen und $$ d_E(x,y) = ||x||_2 + ||y||_2 $$ sonst. Wobei $$ d_2 $$ die euklidische Metrik auf R^2 bezeichnet.

Wie zeigt man, dass für eine Folge in R^2 $$ x_n \to 0 $$ bezüglich $$ d_E $$ genau dann gilt, wenn $$ x_n \to 0 $$ bzgl. $$ d_2 $$ gilt? Die Definition der Konvergenz bringt mich nicht weiter.

Comments

Die Definition der Konvergenz bringt mich nicht weiter. 

Eine enorm geistreiche Bemerkung. So was muss einem erst mal einfallen.

Ist es nicht so, dass der Punkt 0 und ein beliebiger Punkt x_n immer auf einer Geraden durch den Ursprung liegen?

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Ja schon, nur weiß ich nicht, wie man es konkret zeigt. Wenn $$ x_n \to 0 $$ bzgl. $$ d_E $$ gilt, muss ja $$ d_E(x,y) = ||x-y||_2 $$ gelten, damit der Grenzwert 0 ist. Bei $$ ||x||_2 + ||y||_2 $$ wäre der Grenzwert ja nicht 0.

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Was haelst Du von der Behauptung \(d_E(x_n,0)=d_2(x_n,0)\)? Ergibt das für Dich irgendeinen Sinn?

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$$ d_2(x_n,0) $$ ist ja gerade $$ ||x||_2 $$ Dass es eine Gerade durch den Ursprung ist, ist klar. Nur wie muss man bei den Implikationen in beide Richtungen vorgehen, um die Äquivalenz zu zeigen? 

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\(\lVert x_n\rVert_2\) und nicht \(\lVert x\rVert_2\). Mit Schlamperei kommst Du nicht weit.

\(d_E(x_n,0)\) ist zufaellig auch gerade \(\lVert x_n\rVert_2\).

An dieser Stelle solltest Du vielleicht Deine geistreiche Bemerkung von oben noch mal ueberdenken. Schreibe hin: Die Definition von Nullfolge im metrischen Raum.

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Die Definition ist ja: $$ \lim\limits_{x\to\infty}d(x_n,x) = 0 $$ Also in diesem Fall $$ \lim\limits_{x\to\infty}d_2(x_n,0) = 0 $$ Und das ist äquivalent zu $$ \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists N \in ℕ \ \forall n \geq N: d(x_n,x) < \varepsilon $$ Da $$ d_E(x_n,0) = d_2(x_n,0) $$ könnte man es dann für "⇒" so zeigen: $$ Sei \ x_n \to 0 \ bzgl. d_E, \\ \varepsilon > 0 $$ $$ \Rightarrow \exists N \in ℕ \ \forall n \geq N: d_E(x_n,0) < \varepsilon \\ \Rightarrow \exists N \in ℕ \ \forall n \geq N: d_2(x_n,0) < \varepsilon $$ Und daher $$ a_n \to 0 \ bzgl. d_2 $$ Kann man das so machen?

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Behauptet wird: $$\lim_{n\to\infty}d_E(x_n,0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad\lim_{ n\to\infty}d_2(x_n,0)=0.$$ Das ist wegen \(d_E(x,0)=d_2(x,0)\) für alle \(x\) eine offensichtliche Tautologie. Wenn Du immer noch was "zeigen" willst, dann kann ich Dir auch nicht mehr helfen.

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Müsste man denn nicht erstmal zeigen, dass $$ d_E(x,0) = d_2(x,0) $$ gilt?

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Wenn Dir immer noch nicht klar ist, dass 0 und x stets auf einer Geraden durch den Ursprung liegen, und daher bei dieser Aufgabe (Nullfolge!) immer der erste Zweig aus der Definition der Eisenbahnmetrik zu waehlen ist, dann kannst Du Dich getrost einsalzen lassen.