Rätselaufgabe zu Exponentialfunktionen

Question

ich benötige mal kurz eure Hilfe zur nachfolgender Aufgabe:

Ein Kapitel von 6.500 € wurde eine bestimmte Anzahl von Jahren mit 6,75 % verzinst. Danach wurde das Guthaben doppelt so lange mit 4,5 % verzinst. Das Guthaben war dann auf 12.000 € angewachsen.

Ich soll die Anzahl der Zinsperioden bestimmen.

Answer 1

Ein Kapitel von 6.500 € wurde eine bestimmte Anzahl von Jahren mit 6,75 % verzinst. Danach wurde das Guthaben doppelt so lange mit 4,5 % verzinst. Das Guthaben war dann auf 12.000 € angewachsen.

( 6500 * 1.0675 ^t ) * 1.045 ^{2t} = 12000
t = 4
Probe
6500 * 1.0675 ^{4} = 8440.82
8440.82 * 1.045 ^{8} = 12000

Comments

Danke schon mal für die Antwort!

Ist es den auch möglich dieses mit dem Logarithmus zu bestimmen?

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Hallo Mathepro1000,

Ja, das muss man sogar:

( 6500 * 1.0675 ^{t} ) * 1.045 ^{2t} =12000   |:6500

1.0675^t*1.045^{2t}=(24/13)

e^{0.153353t}=(24/13)   | ln

0.153353t=ln((24/13))   |:0.153353

t=ln((24/13))/0.153353

t≈3.99799≈4

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Ist es den auch möglich dieses mit dem Logarithmus
zu bestimmen?
1.0675 ^t * 1.045 ^{2t} = (24/13)

racine hat alles in eine e-Funktion
umgewandelt.

Andere Möglichkeit
1.0675 ^{t} * 1.045 ^{t} * 1.045 ^{t} = 24/13
( 1.0675 * 1.045 * 1.045 ) ^{t} = 24/13
( 1.1657 ) ^{t} = 24/13 | ln
t * ln ( 1.1657 ) = ln ( 24/13 )
t = ln ( 24 / 13 ) / ln ( 1.1657 )
t = 4

Answer 2

Hier mal ein Vorschlag von mir:

12000=(6500*1.045^t)*1.0675^t  |:6500

(24/13)=1.045^t*1.0675^t

(24/13)=1.11554^t   | log

t=log_1.11544((24/13))

t≈5.607393129 Jahre

Das wäre ein Weg, es gibt jedoch noch viele Zahlreiche andere. Punktprobe:

12000=(6500*1.045^{5.607393129})*1.0675^{5.607393129} 

Das stimmt! Es könnte also z. B. eine 5.6 jährige Zinsperiode je Zinssatz  gegeben haben. Es gibt trotzdem unzählig viele andere!

EDIT:

Habe das nach "doppelt so lang" nicht gelesen!