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Ich beschäftige mich momentan mit der folgenden aufgabe . Ich habe Schwierigkeiten die beiden Aussagen zu zeigen . Kann mir jemand dabei helfen ?


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@Sandra:

Du hast noch immer nicht die Schreibregeln eingehalten. 

Du kannst den Rest noch selbst erledigen. Auch bei all deinen andern Fragen. Ergänze Kommentare.

1 Antwort

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Trifft sich ja großartig, dass ich auf eine markierte Frage antworte.  Scheint sich ja um metrische Räume zu handeln Mit B_r ( x )  ist offenbar die r-Kugel um x gemeint.
  Zunächst eine kleine Vorrede: macht Internet dumm? Wo hast du Topologie gelernt; im " Franzbändchen "  ( Franz / Frankfurt ) ?
      Weil überall steht doch, die Metrik d ( x ; y )  sei eine nicht negative Funbnktion.  So als müsste jemand das " aktiv verhindern "  Anschaulich leuchtet das sogar ein.  Im Internet nun erfahre ich

    0  =  d  (  x  ;  x  )  <  =  d  (  x  ;  y  )  +  d  (  y  ;  x  )  ( Dreiecksungleichung  )      (  1a  )
          =  2  d  (  x  ;  y  )      (  Symmetrie  )    (  1b  )

    Ich bin ein Fan von  ===>  Edward Nelson und seiner Nonstandard Analysis  (  NSA ; IST )    Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley; neueste Ausgabe natürlich bei Amazon. Robert beschäftigt sich übrigens genau mit diesen Fragestellungen.
  Doch zwei Konventionen vorab.  Für die Variable " klein a "  möge nur dann " groß  A  "  verwendet werden, wenn der Wertebereich von a auf Standardwerte eingeschränkt ist; die Nelsonteorie  ist  " case sensitive  "  Und griechische Buchstaben bleiben reserviert für inf(initesimale)  Größen.
    Dann brauchen wir noch eine Relation

      x  (  =  )  y  :  D  (  x  ;  y  )  =  inf  =  €      (  2a  )

    In Worten:  x ist fast gleich y .
    In der NSA hast du doch ganz typisch diese ===>  impliziten Definitionen (  ID  ) Ein x möge fast Standard heißen, falls

          (E)  Y  |  Y  (  =  )  x          (  2b  )

    Dann bezeichnen wir  Y =:  x *  und nennen es den Schatten von x .  In metrischen Räumen lässt sich zeigen, dass diese Definition eindeutig ist.
    Die  ID  von Abgeschlossen.
    Eine Menge  A  heißt abgeschlossen <===> 

    x  fast Standard  ,  x  €  A  ====>  x *  €  A      (  3  )

      und die ID  des Häufungspunkts
      H ist Häufungspunkt von  A  <===>

        (E)  x  €  A  ;  x *  =  H          (  4a  )

         D  (  x  ;  H  )  >  0      (  4b  )


    Ungleichung  (  4b  )  repräsentiert  die Idee  des  "  Auspieksens  "  , wie ich das immer nenne  -  für die Eigenschaft  "  Häufungspunkt "  ist unwesentlich, ob  H  €  A oder nicht.
      Und jetzt der Beweis
    "  <====  "
      ( H Häufungspunkt  von A ===>  H € A )  ===>  A abgeschlossen 
    Wegen X ( = ) X folgt ja immer  X * = X  .  Kriterium  ( 3 )  macht also  überhaupt nur dann eine Aussage, wenn x  Nonstandard.  Dann aber folgt aus ( 4ab )  dass x *  Häufungspunkt von A  ,  d.h. aber laut Annahme x * € A ===>  A ist abgeschlossen.
    "  ===>  "
    Sei nunmehr  H  Häufungspunkt von  A  .  Dann gibt es x €  A  mit  H = x *  . Da nun aber A abgeschlossen, muss H  €  A .

    Unterpunkt ii)  gestaltet sich doch etwas knifflig.  Ich will einmal eingehen auf Nelsons Standardisierungsaxiom.  Seine Notation  finde ich allerdings wenig erhellend;  meine Groß-Kleinschreibung ist da viel suggestiver. Aus der Spektrum weiß ich übrigens,  dass man die Menge der Häufungspunkte als ihre Ableitung  M  '  bezeichnet - findest du auch in keinem Unitext.  Und dass  M  '  Teilmenge von M  genau dann wenn M  abgeschlossen, stand auch schon in der Spektrum.
    Spektrumleser wissen mehr. Und gäbe es die Spektrum nicht, hätte ich nie etwas von Onkel Nelson erfahren.

  M ' = { H | (E) x € M ; x * = H ; D ( x , H ) > 0 }    (  5  )

    Mit  "  groß  M  "  drücke ich aus: Bei M ' handelt es sich um eine Standardmenge.  Und das Symbol  "  groß  H  "  macht unmissverständlich deutlich:  EXPLIZIT  trifft die Mengen bildende Eigenschaft nur auf Standardelemente  zu; diese Definition ist implizit in dem Sinne, dass zwei Standardmengen schon dann in allen Elementen überein stimmen,  wenn ihre Standardelemente gleich sind. Dann folgt  aber aus  (  5  )


    (V)  H  €  M  '  |  D  (  H  ,  M  \  H  )  =  inf      (  6a  )


        Mit Transfer bekommen wir die zusätzliche Aussage

      D  (  H  ,  M  \  H  )  =  Standard     (  6b  )


    und ( 6ab ) zusammen führt auf


    D  (  H  ,  M  \  H  )  =  0     (  6c  )


    In der Form ( 6c )  , wo  rechts Null steht und nicht inf  , ist Transfer  nach h zulässig  :


    (V)  h  €  M  '  |  D  (  h  ,  M  \  h  )  =  0        (  6d  )


    Wo wollen wir hin?  Sei  h fast Standard ein Häufungspunkt von M  ;  dann muss auch  H :=  h * einer sein.  Wieder ist nichts zu zeigen,  wenn schon h * = h = Standard . Sei also  im Folgenden h zwar fast Standard, aber selbst Nonstandard:


            h  (  =  )  H       (  7a  )


     Aus  (  6d  )  folgt aber, dass es ein  x  €  M  geben muss, dessen Abstand zu h noch näher  ist als dieses  H 

   ( Ob der Fall eintreten kann, dass x = h ,  ist für den folgenden Beweis unerheblich. )


                h  (  =  )  x      (  7b  )


    Und jetzt ein Wort in eigener Sache;  nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen  "  Hochpunkt "  statt Maximum - ich kann es auch.  Es heißt nämlich nicht  "  Äquivalenzrelation  "  , sondern  Gleichheitsbeziehung  (  GB  )  .   Und " ( = ) "  ist so eine (Pseudo)_GB .   Nicht nur ist sie reflexiv und symmetrisch, sondern eben auch transitiv.  D.h. aus ( 7ab )   folgt


   (E)  x  €  M  |  x  (  =  )  H  ===>  H ist Häufungspunkt von M     (  7c  )

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