Extremstellen berechnen, Hochpunkt/Tiefpunkt

Question

Bestimmen Sie das Extrema von f(x).

f(x)= √x - 1/6x, x ≥ 0

Ich bitte nur zu sagen, wo mein Fehler liegt. Ich würde die Rechnung gerne selber lösen wollen. :)

Mein Ansatz:

f(x)= √x - 1/6x

f(x)= x^{1/2}-1/6x

f'(x)= 1/2x^{-1/2} - 1/6

f''(x)= -1/4x^{-3/2}

notwendige Bedingung: f'(x)=0

0=1/2x^{-1/2} - 1/6       /+ 1/6

1/6= 1/2*x^{-1/2}         /: 1/2

1/3= √x                       / (...)^2

x= 1/9

Mein Taschenrechner zeigt mir aber x=9 an. Wo ist mir ein Fehler unterlaufen?

Answer 1

1/3= √x 

Besser1/3 = x^-1/2

Es ist x^-1/2 = 1/x^1/2 = 1/√x

Comments

Hätte ich danach den ln verwenden müssen? Warum ist der Ausdruck x^{-1/2} besser?

---

Warum ist der Ausdruck x^-1/2 besser?

Weil er auch schon in der Zeile darüber auftaucht.

---

1/3= √x

hätte auch nicht gestimmt, weil das Vorzeichen nicht beachtet wurde

1/6= 1/2*x(-1/2)        /: 1/2

1/3= - √x

Aber generell stimmt die Schreibweise nicht, oder?

Es müsste lauten:

1/3= 1/x^{1/2}

1/3= 1/√x   /*√x

1/3* √x = 1   /:1/3

√x = 3  / (...)^2

x=9

?

Also die Wurzelschreibweise s.o. -√x war falsch?

---

Also die Wurzelschreibweise s.o. -√x war falsch?

Falsch war, dass du

        1/6= 1/2*x^-1/2 

zu

        1/3= √x

umgeformt hast. Es gibt keine Regel, die es dir erlaubt, das zu tun. Du darfst

        1/6= 1/2*x^-1/2 

mittels Division durch 1/2 zu

        1/3= x^-1/2

umformen und dass dann mittels Definition Negative Exponenten zu

        1/3 = 1/x^1/2.

Answer 2

Drittletzte Gleichung lautet $$ \frac{   1}   {6}  = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}$$ Da ist der Fehler.