Gleichungen lösen, Potenzgesetze

Question

Ich möchte folgende Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt lösen:

f(x)=0

0=-4x^{-2} + 1/2^{-1/2}

Ich komme aber nicht weiter.

Mein Ansatz:

0= x^{-1/2}*(-4x^{3/2} + 1/2)

Aber -4x^{3/2} darf doch nicht in der Klammer stehen, aufgrund folgender Regel:

Potenzen mit gleicher Basis dürfen nur multipliziert werden, indem die Exponenten addiert werden.

Da aber 1 und -4 unterschiedlich sind, dürfen die Exponenten nicht addiert werden, oder?

Wie gehe ich hier vor?

Comments

Korrektur:

0= x^{-1/2}*(-4x^{-3/2} + 1/2)

Answer 1

Satz vom Mathecoach. Jede Gleichung die die Unbekannte nur an genau einer Stelle enthält, kann man direkt zur Unbekannten auflösen. Da bedarf es keiner Tricks.

- 4·x^{- 2} + (1/2)^{- 1/2} = 0

- 4·x^{- 2} = - (1/2)^{- 1/2}

x^{- 2} = 1/4·(1/2)^{- 1/2}

x^{- 2} = 1/4·2^{1/2}

x^2 = 4·2^{- 1/2}

x = ± 2·2^{- 1/4} = ±1.682

Comments

Hätte man nicht ausklammern können, wie ich es oben gemacht habe? Ich will nämlich die Nullstellen berechnen.

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Oh, mein Fehler.

Die Gleichung muss eig oben etwas anders lauten:

0=-4x^{-2} + 1/2x^{-1/2}

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- 4·x^{-2} + 1/2·x^{- 1/2} = 0

- 4·x^{-2} = - 1/2·x^{- 1/2}

x^{-2} = 1/8·x^{- 1/2}

x^2 = 8·x^{1/2}

Triviallösung x = 0

Für x ≠ 0 teile ich durch x^{1/2}

x^{3/2} = 8

x = 8^{2/3} = 4

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Ich bin bisher soweit:

1/8= x^{-3/2}

Wie forme ich nach x um?

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1/8= 2. Wurzel aus x^3

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1/8 = x^{- 3/2}

8 = x^{3/2}

8^{2/3} = x

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8 = x^3/2

Wie ist die 1 auf der linken Seite verschwunden und das Vorzeichen im Exponenten auf der rechten Seite?

Und wie kommst Du auf 8^{2/3} = x

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1/8 = x^{- 3/2}   | Kehrwert bilden bzw. ()^{- 1}

(1/8)^{- 1} = (x^{- 3/2})^{- 1}

8 = x^{3/2}   | Potenzieren ()^{2/3}

8^{2/3} = (x^{3/2})^{2/3}

8^{2/3} = x

Potenzgesetze sind nicht so deines oder?

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Wir haben die nur grob im Unterricht behandelt.

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Dann würde ich raten, dazu Videos bei Youtube zu schauen und Übungsaufgaben zu machen.

Answer 2

0=-4x^-2 + 1/2^-1/2 Mit Hilfe von Potenzgesetzen wird daraus

0=-4/(x²)+√2 und dann x²=4/√2. Dann ist x_1/2=±2/⁴√2.

Comments

Wie kommst Du darauf? Kannst Du mir eventuell die ganze Rechnung nennen?

Vor allem wie kommst Du auf: 0=-4/(x2)+√2?

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x^-2=1/(x²) und (1/a)^-b = a^b.

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Oh, mein Fehler. Da ist mir wohl ein Tippfehler unterlaufen.

Die Gleichung muss eig. oben anders lauten:



0=-4x^{-2} + 1/2x^{-1/2}

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0=-4x-2 + 1/2x-1/2 Jetzt kommen gar keine Exponenten mehr vor. Dann braucht man auch keine Potenzgesetze mehr.

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Wieso? Du hast die Exponenten einfach in die Gleichung gepackt. Das funktioniert doch nur mit dem ln?

Answer 3

Ich glaube du hast mittlerweile 3 Versionen
deiner Gleichung in Umlauf gebracht.
Ich nehme einmal diese

-4x ^{-2} + 1/2*x ^{-1/2}
-4 / x^2 = -1/2 / √ x  |  quadrieren
16 / x^4 = 1/4 / x
64 = x ^3
x = 4

Comments

-4x ^-2 + 1/2*x ^-1/2 ist keine Gleichung.

Answer 4

$$ \text{Also wenn du } x^{-1/2} \text{ ausklammern willst, muss du aufpassen, denn das wirkt }\\ \text{sich auf alle Summanden in der Klammer aus, was du dann für jeden }\\  \text{Summanden wieder ausgleichen musst. Es muss also lauten:}\\0=x^{-1/2}\cdot(-4\cdot x^{-3/2}+1/2^{-1/2}\cdot x^{1/2})$$

Wenn du das nämlich wieder ausmultiplizierst, dann bekommst wieder dein Ausgangsausdruck, also

$$ x^{-1/2}\cdot(-4\cdot x^{-3/2}+1/2^{-1/2}\cdot x^{1/2})=-4\cdot x^{-3/2}\cdot x^{-1/2} +1/2^{-1/2}\cdot x^{1/2}\cdot x^{-1/2}\\=-4 \cdot x^{-3/2-1/2}+1/2^{-1/2}\cdot x^{1/2-1/2}=-4\cdot x^{-2}+1/2^{-1/2}\cdot x^0 =\underline{-4\cdot x^{-2}+1/2^{-1/2}}$$

Nun zum Lösen dieser Gleichung:

$$\begin{aligned} 0&=-4\cdot x^{-2}+1/2^{-1/2}&&|+4\cdot x^{-2}\\ 4\cdot x^{-2}&=1/2^{-1/2}\\\Leftrightarrow4\cdot\frac{1}{x^2}&=\frac{1}{1/2^{1/2}}\\\Leftrightarrow\frac{4}{x^2}&=\frac{1}{\sqrt{1/2}}&&|\cdot x^2\\4&=\frac{x^2}{\sqrt{1/2}}&&|\cdot\sqrt{1/2}\\4\cdot\sqrt{1/2}&=x^2\\\Rightarrow \sqrt{4^2}\cdot\sqrt{1/2}&=x^2\\\Leftrightarrow \sqrt{16\cdot 1/2}&=x^2\\\Leftrightarrow \sqrt{8}&=x^2&&|\sqrt{}\\x_{1/2}&=\pm\sqrt{\sqrt{8}}=\pm(8^{1/2})^{1/2}=\pm8^{1/2\cdot 1/2}=\pm 8^{1/4}\end{aligned}$$

Comments

Wie kommst Du auf:

x^{−1/2}⋅(−4⋅x^{−3/2}+1/2^{−1/2}⋅x^{1/2}) 

Die Funktion lautet;

f(x)= -4*x^{-2}+1/2*x^{-1/2}

Wenn man x^{-1/2} ausklammert, müsse da doch, wo ich fettgedruckt markiert habe, eine 1/2 hin

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Tja, ich war halt zunächst mit DEINER ERSTEN VERSION DER GLEICHUNG beschäftigt, bis ich nach dem Abschicken meiner Lösungsskizze gesehen hatte, dass du anscheinend nicht die Funktion richtig eingegeben hattest...