Nichtlineare Optimierung

Question

Hallo liebe Mitglieder,

ich bitte bei folgender Aufgabe um Hilfe.

Es sei A ⊂ ℝⁿ eine abgeschlossene Menge und d_A: ℝⁿ->ℝ definiert durch
d_A(x) = $$inf_{a \in A} ||x-a||.$$
Zeige die folgenden Aussagen:
(i) Die Funktion d_A ist genau dann konvex, wenn A konvex ist.

"⇒"

Habe ich gezeigt.

Nur die Rückrichtung macht mir leider Probleme...

Julia

Comments

So ich hab mich mal schnell registiert.

Ist es das?
Sei d_A konvex, dann gilt für alle x,y aus A und λ ∈ (0,1) nach Definition
d_A(y+λ(x-y))-d_A(y))/λ <= (λ d_A(x) + (1-λ)d_A(y)-d_A(y))/λ = d_A(x) - d_A(y).

Und dann muss ich noch λ gegen 0 laufen lassen?