Ich komme bei der folgenden Aufgabe leider nicht weiter und wäre dankbar für Hilfe.
(a) Sei \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) konvex aber nicht notwendigerweise differenzierbar. Man zeige mithilfe eines Trennungssatzes, dass für beliebiges \( \bar{x} \in \mathbb{R}^{n} \) das sogenannte Subdifferential von \( f \) in \( \bar{x} \)
\( \partial f(\bar{x}):=\left\{y \in \mathbb{R}^{n} \quad \mid f(x) \geq f(\bar{x})+y^{T}(x-\bar{x}) \quad \forall x \in \mathbb{R}^{n}\right\} \)
nicht leer ist.
(b) Für den Fall, dass \( f \) affin ist (d.h. \( f \) und \( -f \) konvex sind) gebe man das Subdifferential von \( f \) in \( \bar{x} \) explizit an. (Das Ergebnis lässt sich auf den Fall übertragen, dass \( f \) in \( \bar{x} \) differenzierbar ist.)
