Ist diese Funktion affin-linear oder nichtlinear?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f :ℝ ↦ ℝ

Fallunterscheidung:

f(x) =  x ,   x ≥ 0

        -2x , x < 0

Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben mit Beweisen:
a) Ist diese Funktion affin-linear oder nichtlinear? (Affin-linear bedeutet, dass a,b ∈ R existieren mit f(x) = ax+b für alle x ∈ R.)
b) Gibt es Minima und sind diese lokale oder globale Minima?
c) Ist die Funktion konvex?

Problem/Ansatz:

Answer 1

a)  ist nicht linear. Denn gäbe es a,b mit f(x) = ax+b

dann wäre f(1) = a+b  und f(-1) = b-a und f(0) = b

Da aber f(0)=0 ist, wäre b=0

und damit also f(1) = a und f(-1) = -a

aber es ist f(1)= 1   und f(-1) = 2

==>     a = 1    und  -a = 2 . Widerspruch !

b) bei 0 ist ein globales Minimum

c) f ist konvex. Verbindungsstrecke zweier Punkte des Graphen

hat nie Punkte unterhalb des Graphen.