Extremwertaufgaben: minimalen Materialverbrauch für Gasflasche

Question

Aufgabe:

Gasflaschen haben die Gestalt eines Drehzylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Berechnen Sie beim vorgegebenem Volumen V den minimalen Materialverbrauch. Lösen Sie das Beispiel zuerst allgemein und dann für V= 5 Liter.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen. Wir haben gerade mit Extremwertaufgaben angefangen und ich habe das Prinzip nicht wirklich verstanden. Könnte jemand dabei helfen, denn nachdem ich mir ein paar Videos auf YouTube angesehen habe, verstehe ich es immer noch nicht?

Danke.

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Vielleicht kann mir ein weiser Mensch noch mitteilen, was der Unterschied zwischen Zylinder und Drehzylinder ist.

Answer 1

Nebenbedingung

V = 1/2·4/3·pi·r^3 + pi·r^2·h → h = V/(pi·r^2) - 2/3·r

Hauptbedingung

O = 1/2·4·pi·r^2 + 2·pi·r·h + pi·r^2

Nebenbedingung einsetzen

O = 1/2·4·pi·r^2 + 2·pi·r·(V/(pi·r^2) - 2/3·r) + pi·r^2

Vereinfachen

O = 5/3·pi·r^2 + 2·V/r

Ableitung gleich Null setzen

O' = 10·pi·r/3 - 2·V/r^2 = 0 → r = ³√(3·V/(5·pi))

noch in h einssetzen

h = V/(pi·(3·V/(5·pi))^(2/3)) - 2/3·(3·V/(5·pi))^(1/3) = ³√(3·V/(5·pi))

Mit einem Volumen von 5 Liter = 5 dm³ = 5000 cm³ kommt man auf ca.

r = h = 9.847 cm

Answer 2

Videos auf Youtube? Herrjesses, das ist selten zielführend.

Variablen sind der Radius und die Höhe des Zylinders.

Das Volumen ist gleich Zylindervolumen plus halbes Kugelvolumen.

Die Flächeninhalt des Stahls ist gleich Kreis unten an der Flasche plus Mantel des Zylinders plus halbe Kugeloberfläche.

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Ich habe das auch herausgefunden, aber ich verstehe nicht, wie man in diesem Fall h und r bekommt.

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Mit der Ableitung?

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Das Volumen (Nebenbedingung):

\(V = \displaystyle\pi r^{2}\cdot h +\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}\)

\( \Rightarrow h=\displaystyle\frac{V}{\pi r^{2}}-\frac{2 r}{3} \)

Die Oberfläche (Zielfunktion):

\(A =  \displaystyle\pi r^{2}+2 \pi r\cdot h +\frac{1}{2} \cdot 4 \pi r^{2} \)

\(= \displaystyle \pi r^{2}+2 \pi r\left(\frac{V}{\pi r^{2}}-\frac{2r}{3}\right)+\frac{1}{2} \cdot 4 \pi r^{2} \)

Das ausmultiplizieren, nach r ableiten und die Ableitung gleich Null setzen, um den Radius für die minimale Oberfläche bei gegebenem Volumen zu finden.

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Danke für die Hilfe werde ich jetzt versuchen

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Ich komme auf

\(r=\displaystyle \Large \sqrt[3]{\normalsize\frac{3V}{5 \pi}} \)     (in Dezimeter wenn Volumen in LIter weil 1 \( \ell \) = 1 dm³)

Wenn man sich die Zielfunktion für V = 5 plotten lässt, dann sieht das so aus:

Answer 3

Da du mit Extremwertaufgaben beginnst führe ich
dir erst einmal eine Aufgabe für einen Drehzylinder
vor.

r = Radiius
h ist die Höhe
G = Grundfläche = r^2 * pi
V ( olumen )= G * h
V = r^2 * pi * h
V = 5000 cm^3

M ist die Oberfläche des Zylinders
U = Umfang = 2 * r * pi
M = 2 * G + U * h
M = 2 * r^2 * pi + 2 * r * pi * h

von M soll die kleinste Fläche gefunden werden.
Wir haben 2 Formeln mit 2 Variablen " r und h "
5000 = r^2 * pi * h
M = 2 * r^2 * pi + 2 * r * pi * h

Wir ersetzen zunächst " h "
5000 = r^2 * pi * h
h = 5000 / ( r^2 * pi )
Einsetzen in M
M = 2 * r^2 * pi + 2 * r * pi * h
M = 2 * r^2 * pi + 2 * r * pi * 5000 / ( r^2 * pi )
1. Ableitung für de Extremwert
M ´( h ) = 4 * PI * r - 10000/ r^2
Extremwert
4 * PI * r - 10000/ r^2 = 0
r = 9.267 cm
Einsetzen
5000 = r^2 * pi * h
5000 = 9.257 ^2 * pi * h
h = 18.53 cm

Bitte alles nachrechnen / überprüfen.

Für die Originalaufgabe wieder nachfragen.

Comments

Das war wirklich hilfreich, danke

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Gern geschehen