charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren

Question

Für die reelle Matrix
A = ( -2 2 
        -2 3 )
bestimme man das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren
(oder ggF. allgemeiner die Eigenräume) und (falls diagonalisierbar) eine Diagonalform
D = S^-1AS und die zugehörige Matrix S eines Basiswechsels.

Answer 1

  In den Büchern steht das immer so Mega umständlich erklärt; wie löst  man die Eigenwerte einer  2  X  2  Matrix? Zunächst mal machst du für die Säkulardeterminante ( SD ) den Ansatz

      p  (  x  ;  A  )  =  x  ²  -  p  x  +  q       (  1  )

      Und? Was ist p und q ?  Vieta das geschmähte Stiefkind

       p  =  Sp  (  A  )  =  E1  +  E2  =  1       (  2a  )

       q  =  det  (  A  )  =  E1  E2  =  (  -  2  )     (  2b  )

       x  ²  -  x  -  2  =  0    (  2c  )

    "  Und jetz stellemer uns janz domm unne tumer so, als wenn wir schon mal wat jehört hätten vom ===>  Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) "

   Weil dein Polynom ist normiert;  seine beiden Wurzeln müssen ganzzahlig sein.  Übrigens; ich bin der größten Fälschung der Matematikgeschichte auf der Spur.  Auch hier wieder meine Polemik; die von Wiki et al kolportierte Behauptung, der Entdecker des  SRN  sei Gauß, stellt eine flagrante Fälschung dar.  Zunächst nur so viel:  Artin und v.d. Waerden ( 1930 )   urgestein der Algebra, kennen ihn überhaupt nicht. Aber wie bei jeder Fälschung habe ich durchaus noch mehr Trumpfkarten.

   Entdecker nach wie vor unbekannt; immerhin ließ mich ein User hier auf Matelounge wissen,   das wahrscheinliche Entdeckungsjahr sei 1975 ...

   Du siehst: Mathe muss gar nicht so  dröge und unspannend sein.   In ( 2b ) überlebt ja wohl nur eine Zerlegung der  2 ;  und  (  2a  )  ist immer eine hinreichende Probe -  erforderlich allein schon, um das Vorzeichen richtig zu drehen

     |  E1    =  1  ;  |  E2  |  =  2  ;  |  p  |  =  1   ;  ok  (  3a  )

     E1  =  (  -  1  )  ;  E2  =  2          (  3b  )

   Also diagonalisierbar.  Und jetzt das  LGS  für E1

     -  2  x  +  2  y  =  -  x       (  4a  )

             x  -  2  y  =  0          (  5a  )

    -  2  x  +  3  y  =  -  y       (  4b  )

       2  x  -  4  y  =  0  ===>  (  5a  )          (  5b  )

    Die Nummerierungen ( a;b ) behalte ich konsequent bei, damit du siehst, auf welche Gleichung ich mich beziehe. Der Eigenvektor

     v ( - 1 )  =  (  2  |  1  )      (  6  )

     Und jetzt  E2

     -  2  x  +  2  y  =  2  x        (  7a  )

        2  x  -       y  =  0           (  8a  )

    -  2  x  +  3  y  =  2  y      (  7b  )  ===>  (  8a  )

    v2  =  (  1  |  2  )       (  9  )

   Wenn ich dir einen guten Rat geben darf; schau dir mal die ===>  Paulimatrizen an in einem gescheiten Physikbuch. Denn in ( 6;9 ) stellt sich deine Transformationsmatrix S  als ===>  Hermitesch heraus von der Form

     S  =  2  *  1|  +  S1      (  10a  )

    Die Einheitsmatrix vertauscht mit allen Matrizen; Und Paulimatrizen gehorchen   so Identitäten wie

           S1  ²  =  1|         (  10b  )

    (  Der Betrag der Spinkomponente ist Eins. )  Ich setze noch

      S_  :=  2  *  1|  -  S1      (  10c  )

   Dann folgt nämlich mit der 3. binomischen aus  ( 10a-c )

   S  S_  =  4  *  1|  -  S1  ²  =  3  *  1|          (  11a  )

    S  ^ -  1  =  1/3  S_  =  2/3  *  1|  -  1/3  S1      (  11b  )

Answer 2

det( A -x*E) = x^2 -x -2

hat die Nullstellen 2 und -1.

Das sind die Ew'e.

E-Vektoren

Löse

A*x-2*x= 0

- 4  2
-2  1

gibt

-4  2
0   0

mit x1=t gibt das  Lösungen  (t ; 2t).

Also eines Basis des zugehörigen Eigenraumes

ist  ( 1;2).

zu dem anderen;

A*x+1*x= 0

-1 2
-2 4

gibt

-1 2

0   0

mit x2=t gibt das  Lösungen  (2t ; t).

Also eines Basis des zugehörigen Eigenraum es ist  ( 2;1).

S wird gebildet mit den Eigenvektoren als Spalten, also S=

1    2
2   1

Dann gibt S^{-1}AS =

2 0
0 1       =   D.