charakteristische Polynome, Eigenwerte/Vektoren und Diagonalform bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Matrizen:

\( A:=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right) \quad B:=\left(\begin{array}{ccc} -4 & -3 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -1 & -3 & 0 \end{array}\right) \)

a) Berechnen Sie die charakteristische Polynome der Matrizen \( A \) und \( B \).

b) Bestimmen sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren von \( A \) und \( B \).

c) Finden sie Matrizen \( C \) und \( D \), so dass \( C^{-1} A C \) und \( D^{-1} B D \) Diagonalform haben, falls dies möglich ist.

d) Berechnen Sie \( A^{4} \) mit Hilfe von \( C \) und \( C^{-1} \).

Answer 1

Wenn du nur eine Kontrolle deiner Ergebnisse haben möchtest dann verwende doch einfach in Zukunft Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B2%2C1%2C2%7D%2C%7B1%2C2%2C2%7D%2C%7B1%2C1%2C3%7D%7D

Der gibt die Eigenwerte und Eigenvektoren an und diagonalisiert dir deine Matrix.

Wenn Du dann tatsächlich irgendwo ein Falsches Ergebnis hast dann stelle am besten Deine Rechnung hier rein, damit man sich das ansehen kann was du dir da für Gedanken gemacht hast.

Comments

Bei B habe ich Eigenwerte
k1=5

k2=1


Eigenvektor bei E5 = (1;1;1)

bei E1 kommen die 3 Gleichungen

x+y+2z = 0

x+y+2z = 0

x+y+2z = 0

Man könnte jetzt 3 Vektoren daraus bauen

(0;-2;1),(-2;0;1) und (-1:1:0)

sind jetzt alle 3 Eigenvektoren von E1 ? Bei wolframalpha sind nur 2 gegeben.


denn ist die Diagonalenform von B
D = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,5))


Ich verstehe noch nicht wie man sie richtig bildet, dazu die Frage: Darf man jetzt die 5 mit den 1-en vertauschen ? also quasi D = ((5,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) ?