Konvergieren für eine Folge

Question

kann mir jemand sagen ob diese Aussage und stimmt und wieso?

Konvergieren für eine Folge (a_n)in einem metrischen Raum (X,ρ) die geraden gn := a_2n und die
ungeraden un := a_2n+1 gegen verschiedene Werte, so ist (a_n) divergent.

Answer 1

Die Aussage stimmt, weil die Menge der Zahlen aus der Folge zwei Häufungspunkte hat.

Ein Beispiel: a_n=(-1)ⁿ·(n+1)/n hat die Häufungspunkte +1 und -1.

Answer 2

Zwischen die zwei Genzwerte passt ein ε>0.

Ab einer gewissen Stelle liegen alle geraden Folgenglieder in der ε/3-Umgebung des Genzwertes von g.

Ab einer gewissen Stelle liegen alle ungeraden Folgenglieder in der ε/3-Umgebung des Genzwertes von u.

Ab dem Maximum dieser beiden Stellen liegen die ungeraden und die geraden Folgendglieder mindestsens ε/3 voneinander entfernt.