Unterraum des R^2 bzw. R^3

Question

Hallo Mathefreunde,

bei folgender Aufgabe weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll. Ich weiß, dass R^2 eine Ebene ist und bei R^3 geht's um einen Raum. Wie beantwortet  man nun aber folgende Aufgabe?

Entscheiden Sie jeweils, ob es sich bei den folgenden Mengen um Unterräume des R^2 bzw. Des R^3 handelt. (BEGRÜNDEN)

1) U1:={(x, 0):x>0}

2)U2:= {(x, y, z) :x-y+z=0}

Ich danke euch schon mal für jede hilfe!

Answer 1

Untervektorräume des R^2 sind Ursprungsgeraden und Unterräume im R^3 sind Ursprungsebenen.

U2 ist eine Urpsrungsebene.

U1 ist keine vollständige Urpsrungsgerade, da abgeschnitten (x>0)

Comments

Ahh vielen Dank! Und wie genau begründe ich, dass U2 eine Ursprungsebene ist?

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Dass ax+by+cz=d eine Ebene beschreibt sollte klar sein. Dass kann man auch als Definition auffassen.

Für d=0 hat man eine Urpsrungsebene, weil der Ursprung (x,y,z)=(0,0,0) die Gleichung dann erfüllt und somit in der Menge U2 liegt.

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Wenn du eine vollständige Begründung abliefern sollst, dann musst die Untervektorraum Kriterien zeigen.

Also

- nichtleer

- additiv abgeschlossen

- skalarmultiplikativ abgeschlossen

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Das heißt also U1 ist kein untetraum da nicht unter der skalarmultiplikation abgeschlossen, oder?

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Genauy z.B ist (1,0) in U1 enthalten aber (-1)*(1,0) nicht

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- skalarmultiplikativ abgeschlossen

Über den Ausdruck "skalarmultiplikativ" bin ich da kurz gestolpert.

Mit dem Skalarprodukt von Vektoren hat der natürlich nichts zu tun, sondern nur mit der "Streckmultiplikation" der Form  Skalar · Vektor .