Welche der folgenden Reihen konvergieren? Berechnen Sie fur diese jeweils den Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Reihen konvergieren? Berechnen Sie für diese jeweils den Grenzwert.

a) ∑ (3k² +2) / (k+3) von k=0 bis ∞

b) ∑ ln (k+1) / k von k=1 bis ∞

c) ∑ 3^(k-1) / 4^(k-2) von k=0 bis ∞

Hinweis: ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

ich habe keine Ahnung, was ich machen soll.

Answer 1

a) ∑ (3k^2 +2) / (k+3) von k=0 bis ∞

Die Summanden bilden keine Nullfolge. ==> Reihe konvergiert nicht.

Vielleicht Klammern bei b), damit der Hinweis verwendet werden kann? 

b) ∑ ln ((k+1) / k ) für k=1 bis ∞

=  lim_(n -> unendlich ∑ ln (k+1) - ln(k)  für k=1 bis n

= lim  ln(2) - ln(1) + ln(3) - ln(2) + ln(4) - ln(3) ..... ln(n+1) - ln(n)

= lim ( ln(2) - ln(1) + ln(3) - ln(2) + ln(4) - ln(3) ..... ln(n+1) - ln(n) )   " Teleskopsumme versagt! "

= lim ( ln(n+1))

= unendlich . Reihe konvergiert nicht.

Ohne die ergänzte Klammer, kannst du die harmonische Reihe als divergente Minorante verwenden. 

c) ∑ 3^{k-1} / 4^{k-2} von k=0 bis ∞

Umformen zu geometrischer Reihe. Das sollte hier klappen. 

Hinweis: ln(a/b) = ln(a) - ln(b)