Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ R, in denen die folgenden Reihen konvergieren:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ R, in denen die folgenden Reihen konvergieren:
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n^2x^n} \)

Problem/Ansatz:

ich habe versucht Leibnizkriterium zu verwenden, aber ich konnte die Nullfolge nicht bestimmen...

und ich habe auch Quotientenkriterium verwendet, aber irgendwie bekomme ich immer unendlich als loesung

Comments

Versuch doch mal das Wurzelkriterium.

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danke!,

es kommt am ende 1*x = x

soll ich jetzt sagen, dass x zwischen 0 < x < 1 sein muss, damit die Reihe konvergieren soll?

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Was hast du gegen negative x?

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ah ja, x sollte kleiner 1

Answer 1

Quotientenkriterium geht aber auch ( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Konvergenzradius )

Betrachte \(\lim\limits_{x\to\infty}  \frac{a_n}{a_{n+1}}  = \lim\limits_{x\to\infty}  \frac{n^2}{(n+1)^2}  = 1 \)

Also Konvergenzradius = 1 , somit konvergiert es jedenfalls für alle x∈]-1,1[

Bei 1 und (-1) muss man extra schauen, aber da konvergiert es offenbar nicht.

Comments

hmm wenn ich die Aufgabe mit Wurzelkriterium geloest habe, habe ich am ende x bekommen.

und beim Wurzelkriterium, wenn das Ergebins < 1 dann konvergiert, wenn >1 dann divergiert, deswegen habe ich gesagt x sollte < 1. ist meine loesung richtig ?

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wenn schon, dann |x| < 1 also -1 < x < 1.

Potenzreihen kennst du scheint's noch nicht.