Exponentialfunktionen: Wachstumsvergleich

Question

Hans hilft seinen Vater während der Ferien auf dem Bauernhof. Sein Vater macht den Vorschlag, dass er für den ersten Tag 5 Euro, für zwei Tage 7 Euro, für drei Tage 9 Euro usw. als Lohn erhält. Hans ist viel bescheidener. Er verlangt nur einen Cent für den ersten Tag, 2 Cent für den zweiten Tag, 4 Cent für den dritten Tag, 8 Cent für den vierten Tag usw. 

a) Begründen Sie, dass sich der Lohn nach dem Vorschlag des Vaters nach der Funktion L₁(t)=3+2*t entwickelt, während die Funktion L₂(t)=0,01*2^{t-1} den Lohn nach dem Vorschlag von Hans beschreibt.

b) Hans möchte eine Woche arbeiten, der Vater besteht aber auf zwei Wochen. Kalkulieren Sie den Fall durch.

Könnte mir jemand da bitte helfen?

Answer 1

a) L₁(t)=3+2*t

Am ersten Tag also am Ende -nachdem ein Tag vergangen ist (t=1) - bekommt Hans 5€. Laut der Funktion auch:

L₁(1)=3+2*1=5

Der Zuwachs ist pro Tag 2€ Das ist bei der Funktion auch der Fall. so viele Tage, wie er dort gearbeitet hat, erhöht sich der Lohn für den Tag um 2

L₂(t)=0,01*2^{t-1}

Jedes mal verdoppelt sich der Bestand, deswegen 2 als Wachstumsfaktor. t-1 im Exponenten kommt so zu Stande, dass man für den ersten Tag auf 0 im Exponenten kommen muss, so muss man also 1-1 rechnen. 0,01 ist der Anfangsbestand.

L₂(1)=0,01*2^{1-1}=0,01*2^0=0,01*1=0,01

Reicht das als Begründung? 

b) Soll man von einer 5,6 oder 7 Tage Woche ausgehen.

Ich gehe jetzt einfach mal von einer 7 Tage Woche aus.

Gesamtgehalt von Hans bei dem Angebot des Vaters.

$$\sum_{t=1}^{14}{3+2\cdot t}=252$$

Er würde 252€ verdienen.

Gesamtgehalt von Hans bei dem Angebot von Hans.

$$\sum_{t=1}^{14}{0,01\cdot {2}^{t-1}}=163,83$$

Er würde nur 163,83€ bezahlen

So würde ich die Aufgabe rechnen.

Gruß

Smitty

Comments

Leider kann ich nicht die Rechnung sehen :/

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Kein Problem.

Aber was meinst du hiermit?

Leider kann ich nicht die Rechnung sehen :/

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Es funktioniert jetzt :)

Answer 2

Hallo Sarah,

der Vater bietet pro Tag die gleiche Erhöhung = 2 Euro an. Daher handelt es sich um lineares Wachstum mit dem Anfangswert 3 Euro.

Bei Hans' Vorschlag verdoppelt (dafür steht die 2 in der Gleichung als Wachstumsfaktor) sich der Lohn jeden Tag, die Erhöhung ist also nicht immer gleich groß, sondern wächst exponentiell nach einem Anfangswert von 0.01 Euro.

b) Hier kannst du beide Varianten für den Zeitraum von zwei Wochen ausrechnen.

Grüße

Answer 3

L1(t)=3+2*t
ergibt eine aritmetrische Reihe
1 Glied : 5
7 Glied = 17
14. Glied : 31

Formel : ( erstes Glied + letztes Glied ) / 2 * Anzahl
Für 7 Tage : ( 5 + 17 ) / 2 * 7 = 77 €
Für 14 Tage : ( 5 + 31 ) / 2 * 14 = 252 €

Geometrische Reihe muß ich mit gerade noch
einmal anschauen.

Comments

L2(n)=0,01*2^{n-1}
Geometrische Reihe
n : Anzahl der Glieder
S ( n ) = 0.01 * ( 1 - 2 ^n ) / ( 1 - 2 )
S ( 1 ) = 0.01 * ( 1 - 2^1 ) / ( 1 - 2 ) = 0.01
S ( 7 ) = 0.01 ( 1 - 2^7 ) / ( 1 - 2 ) = 1,27
S ( 14 ) = ( 1 - 2^14 ) / ( 1 - 2 ) = 163,83 €