Kann ich das auf diese Art und Weise zusammenfassen? Grenzwert

Question

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{10^{x-1}+20^{x+1}}{9^{x+1}+21^{x}}$$ habe diese Grenzwertaufgabe. Im nächsten Schritt habe ich nun etwas umgeschrieben:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{10^{x}*\frac{1}{10}+20^{x}*20}{9^{x}*9+21^{x}}$$

Nun sehe ich, dass 20^x im Zähler und 10^x zusammen 30^x ergibt. und Im Nenner 9^x und 21^x zusammen 30^x ergeben. Das könnte man jetzt schon rausziehen und dann kürzen. Aber wie mache ich diesen Schritt? Was steht dann da, wenn ich 30^x rausnehme?

Answer 1

Hi,

Du kannst doch zwei Summanden mit unterschiedlichen Basen nicht zusammenfassen Oo.

Ich würde einfach durch 21^x dividieren.

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{10^{x-1}+20^{x+1}}{9^{x+1}+21^{x}} = \lim \frac{\frac{10^{x-1}}{21^x} + \frac{20^{x+1}}{21^x}}{\frac{9^{x+1}}{21^x} + 1}$$

Man sieht, dass überall der Nenner größer ist als der Zähler weswegen das auf

$$\frac{0 + 0}{0 + 1} = 0$$

führt.

Grüße