Reizende Augusta - äh Julia. Bei mir lernst du Schmuddeltricks. So wie der Fußballtrainer bei den Pokemon. Diese Kurvendiskussion ( KD ) mache ich dir ohne eine einzige Ableitung. Kubistische Polynome sind ein Sonderfall; sie singen immer wieder die selbe Melodie.
Ich habe mal einen SF Film gesehen; die Aliens haben die Erde erobert, und es ist ihnen gelungen, die ganze Menschheit zu verdummen. Ich erinnere mich nur noch an eine Szene, wo der Held - der natürlich als einziger schlau geblieben ist - versucht, einem Mädchen zu erklären, dass die Aliens die Flipperautomaten so manipuliert haben, dass man ganz einfach gewinnen kann, das es da eine voll triviale Strategie gibt - aber sie will und will es einfach nicht kapieren.
Genau so scheinen eure Lehrer nicht damit zu rechnen, dass ihr hinter das Gemeinsame all dieser Polynome 3. Grades kommt. Jede neue Funktion sollt ihr scheint's wieder angehen wie ein neues Abenteuer.
Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
" Die KD eines kubischen Polynoms hat grundsätzlich mit dem WP zu beginnen; dafür braucht's nämlich keine 2. Ableitung. Du gehst immer aus von der Normalform. "
f ( x ) := x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 1a )
a2 = 6 ; a1 = 0 ; a0 = ( - 1 ) ( 1b )
x ( w ) = - 1/3 a2 = ( - 2 ) ( 2a )
Und mit dem Hornerschema solltest du im Kopf schaffen
f ( w ) = 15 ( 2b )
Okay ich gebe zu. Ein Schachgroßmeister verfügt über einen systematischeren Überblick als ein Naivling. Um die Extremata ohne Einsatz einer Ableitung zu knacken, musst du erst mal diesen Verschieber wegmachen in ( 1b )
F ( x ) := f ( x ) + 1 = ( 3a )
= x ² ( x + 6 ) ( 3b )
Eintrag für FRS
" Eine gerade Nullstelle so wie die doppelte im Ursprung in ( 3b ) ist immer ein lokales Extremum. "
( x | y ) ( min ) = ( 0 | - 1 ) ( 3c )
aber woher weiß ich jetzt auf einmal wieder, dass ( 3c ) ein Minimum ist? Das hat zu tun mit der wohl wichtigsten Regel; vor allem in Steckbriefaufgaben wirst du sie immer wieder brauchen; Diktat für FRS
" Jedes Polynom 3. Grades verläuft PUNKT SYMMETRISCH gegen seinen WP. Aus dieser Symmetrie ergibt sich die Mittelwertbeziehung "
x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ] ( 4a )
f ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ] ( 4b )
Kennst du zwei von den kritischen Punken, hast du automatisch auch den dritten. Vergleichst du ( 2a ) mit ( 3c ) , so wird klar, dass das gefundene Extremum rechts vom WP liegt. Wir haben aber positiven ===> Leitkoeffizienten; d.h. für x ===> ( + °° ) geht das Polynom asymptotisch eben Falls gegen ( + °° ) Das RECHTESTE Extremum ist immer ein MINIMUM .
Und schlussendlich aus ( 2ab;3c;4ab ) - obwohl das schaffst du sogar leichter im Kopf
( x | y ) ( max ) = ( - 4 | 31 ) ( 5 )
( vgl. Wolfram )
