Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl (1 + i)^{2n}+(1 - i)^{2n} berechnen

Question

bei folgender komplexen Zahl, die über alle ungeraden n Element von N läuft soll der Realteil und der Imaginärteil berechnet werden, ich vermute, dass man etwas mit dem binomischen Lehrsatz zeigen kann.

(1 + i)^{2n}+(1 - i)^{2n}

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Vom Duplikat:

Titel: Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl (1 + i)^2n + (1 − i)^2n ?

Stichworte: komplexe,zahlen

(a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl (1 + i)^2n + (1 − i)^2n
für n ∈ N ungerade.

(b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil aller komplexen Lösungen der Gleichung
(z^2 + iz + 2)(z^2 + 2iz + 1) = 0.

Answer 1

... ,  ich vermute, dass man etwas mit dem binomischen Lehrsatz zeigen kann.

Kann man vermutlich. Einfacher könnte es sein, sich vorher Gedanken zu machen, was \((1+i)^2\) ist:

$$(1+i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i$$

Genauso ist \((1-i)^2= -2i\). Man kann also schreiben:

$$(1+i)^{2n} + (1-i)^{2n} = \left( (1+i)^2\right)^n + \left( (1-i)^2\right)^n = (2i)^n +(-2i)^n$$

Bei ungeradem \(n\) bleibt das Minuszeichen erhalten. Damit heben sich beide Summanden auf. Das Ergebnis ist =0. Ersetzt man \(n=2k\) für alle geraden \(n\), so gibt das

$$(2i)^{2k} +(-2i)^{2k} = (-4)^k + (-4)^k = 2 \cdot (-4)^k = 2 \cdot (-4)^{\frac{n}{2}}$$

was der Realteil aller geraden \(n\) ist. Der Imaginärteil ist in jedem Fall =0.

Comments

Tolle Antwort .. was für die Frage .. es wurde gefragt  . also für n ungerade dann in diesem Fall der Realteil und der Imaginärteil beide sind Null ?

aber ich glaube brauchen wir nicht die beiden Teilen für n gerade zu rechnen ? oder?

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also für n ungerade dann in diesem Fall der Realteil und der Imaginärteil beide sind Null ?

Ja - für ungerade \(n\) ist das Ergebnis =0.

aber ich glaube brauchen wir nicht die beiden Teilen für n gerade zu rechnen ? oder?

meine Deutschkenntnisse reichen nicht aus, um den Sinn dieser Worte zu erfassen!

Nochmal ganz formal. Das Ergebnis ist:

$$(1+i)^{2n} + (1-i)^{2n} = \begin{cases} 0, \quad &\text{für }  n \equiv 1 \mod 2 \\ 2 \cdot (-4)^{\frac{n}{2}}, \space &\text{für }  n \equiv 0 \mod 2  \end{cases}$$

Answer 2

Man multipliziert zwei komplexe Zahlen indem man die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

(1+i)²ⁿ hat demnach den Betrag √2²ⁿ und das Argument 2n·π/4.

Ebenso hat (1-i)²ⁿ den Betrag √2²ⁿ, aber das Argument -2n·π/4.

Wegen der gleichen Beträge und der entgegengesetzten Argumente ist die Summe eine reelle Zahl. Dessen Betrag kannst du in der gausschen Zahlenebene mit geoemtrischen Mitteln bestimmen.

Die Zahl ist negativ, wenn 2n·π/4 im zweiten oder dritten Quadranten liegt.

Answer 3

Hallo

a) berechne (1+i)^2 und (1-i)^2 das Ergebnis dann hoch n ungerade.

b) die je 2 Nullstellen der 2 Klammern mit pq Formel ,

Warum versuchst du so einfache Sachen nicht erst mal alleine und fragst nur wenn du bei dem Ergebnis zu unsicher bist? Wie willst du lernen, wenn du nix selbst versuchst?

Gruß lul

Comments

ich bin ein Kommilitone vom Fragensteller und habe mich mal an der Aufgabe versucht, bin mir aber mit dem Ergebnis sehr unsicher.

Ich habe wie oben erwähnt (1+i)² und (1-i)² berechnet. (Meine Schulzeit ist etwas her, deswegen bin ich mir wegen den binomischen Formeln etwas unsicher)
(1 + i)² + (1 - i)²

= (1² + 2i + i²) + (1² - 2i + i²) Klammern auflösen dann komme ich auch 2 + 2i².

Dann √2 + 2i² = 1,41 + 2i

Wie das mit dem Ergebnis hoch n ungerade gemeint ist, weiß ich allerdings nicht

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2 + 2i² = 2 + 2*(-1) = 0      (?) 

diese Frage wurde in den letzten Tagen schon mehrfach eingestellt und beantwortet. Schau mal, ob du eine weitere Version findest.

Nachtrag: Pluspunkt für lul von mir!

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Hallo

(1+i)^2=2i ;(1-i^2)=-2i

 auch wenn du 1+i zeichnes und den Winkel verdoppelst und die Länge quadrierst siehst du das. Zeichnungen sin immer eine gute Kontrolle

Gruß lul

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Also verstehe ich das richtig, das sowohl Realitätsteil als auch Imaginärteil 2i ist?

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Nicht ganz.

https://www.mathelounge.de/541764/real-und-imaginarteil-einer-komplexen-zahl-berechnen

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Hallo

einen Realitätsteil gibt es nicht! Die Realität ist, dass du offensichtlich nicht weisst, was Re und Im einer komplexen Zahl ist.

z=a+ib Realteil a, Imaginärteil b

z=0+2i Realteil 0 Imaginärteil 2 (nicht 2i)

Gruß lul

das gilt jetzt für n =1  und nur (1+i)^2 was ist mit n=3,5,7, 2k+1 ? und was mit (1+i)^2 +(1-i)^2 usw.

Gruß lul

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Ich weiß theoretisch schon was Re und Im einer komplexen Zahl ist. Aber da ich gerade erst mit dem Studium angefangen habe und ich das erste Mal in meinem Leben mit komplexen Zahlen zu tun habe finde ich es nicht verwerflich, dass ich nachfrage wenn mir etwas unklar ist.

Trotzdem danke für die Hilfe.

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Ich weiß theoretisch schon was Re und Im einer komplexen Zahl ist.

Es ist sogar sehr gut, dass du Nachfragen stellst. Der nächste Schritt ist dann, die "ähnlichen Fragen", wolframalpha.com ,  die "Suche" ... bedienen zu lernen.

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Ich kann das alles sehr gut bedienen, danke :)