G von MxN ist ein Graph genau dann, wenn die Projektionsabbildung pr|G bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Seien M und N nicht leere Mengen und sei pr: MxN -> M eine Projektionsabbildung. Eine Teilmenge G von MxN ist genau dann ein Graph einer Abbildung f:M->N , wenn pr|G eine bijektive Abbildung ist.

Könnte mir irgendwer einen Schubser in die richtige Richtung geben?

Answer 1

Abbildungen \(f : M \to N\) müssen linkstotal und rechtseindeutig sein.

Linkstotal: Zu jedem \(x\in M\) gibt es ein \(y\in N\) mit \(f(x) = y\).

Rechtseindeutig: Für alle \(x_1, x_2\in M\) mit \(x_1 = x_2\) folgt jeweils \(f(x_1) = f(x_2)\).

Damit ergibt sich nach Definition, dass \(G\subseteq M\times N\) genau dann Graph einer Funktion \(f : M\to N\) ist, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

[1] Zu jedem \(x\in M\) gibt es ein \(y\in N\) mit \((x, y)\in G\).

[2] Für alle \((x_1, y_1),  (x_2, y_2)\in G\) mit \(x_1 = x_2\) folgt jeweils \(y_1 = y_2\).

Du musst demnach also zeigen, dass die Bedingungen [1] und [2] zusammen äquivalent dazu sind, dass die eingeschränkte Projektionsabbildung \[\text{pr}\vert_G : G\to M,\quad (x, y)\mapsto x\] bijektiv ist.

[spoiler]

[1] ist äquivalent zur Surjektivität von \(\text{pr}\vert_G\).

[2] ist äquivalent zur Injektivität von \(\text{pr}\vert_G\).

\(\text{pr}\vert_G\) ist genau dann bijektiv, wenn \(\text{pr}\vert_G\) surjektiv und injektiv ist.

[/spoiler]

Comments

Verständnisfrage:

Ich übersehe irgendetwas, weis aber nicht was. Das Ganze könnte doch auch folgendermaßen ausschauen:

      G        ->     M      ->     N

x_1,y_1   ----    x_1   -----   y_1

x_2,y_3   ----    x_2   -----   y_2

                                          y_3

Die Projektionsabbildung wäre bijektiv also zu jedem x in M existiert genau ein (x,y). In G liegt jedes x aus G nur einmal, da es sich um eine Projektionsabbildung auf M dreht. Ein Graph (f) wäre doch G nur mit den Tupeln (x_1,y_1),(x_2,y_2). G ist jedoch Teilmenge des kartesischen Produkts und muss (x_1,y_j)(x_2, y_j) beinhalten wobei y_j ein beliebiges y in N ist. Wieso könnte G in dieser Konstellation nicht (x_2,y_3) statt (x_2, y_2)  beinhalten?