es geht um die Entscheidung, ob folgende T stetig und differenzierbar ist:
$$ T: C^1[0,1] \rightarrow C^1[0,1] $$ mit
$$ ||x|| = sup_{t \in [0,1]} |x(t)|$$, $$ x:[0,1] \rightarrow \mathbb R $$
und $$ T(x)(t)=x'(t) $$
Für Linearität muss ja gelten für $$ x,y \in [0,1], a,b \in \mathbb K $$
$$T(a x(t)+b y(t))= (a x(t) + bx(t))'=ax'(t) +b x'(t)= a T(x)(t) + b T(x)(t) $$
Ist das überhaupt so richtig? Ich weiß nicht genau, was T(x)(t) macht. Was meint das (x)(t)?
Für die Stetigkeit muss T beschränkt sein: $$ |T(x)(t)|=|x'(t)| \leq sup_{t \in [0,1]} |x'(t)|=1 ||f||_{\infty} $$ oder?