Zeigen Sie, dass durch g: \mathbb R - \mathbb R , g(x) := x*f(x) einem im Nullpunkt stetige Funktion definiert wird.

Question

Aufgabe:

Es sei $$ D \subseteq \mathbb R$$ Eine funktion $$ f: D -> \mathbb R$$ heißt beschränkt, wenn es ein M > 0 gibt mit $$ |f(x)|\leq M $$ für alle $$ x\in D $$ Es sei nun $$ f:\mathbb R ->\mathbb R$$ beschränkt. Zeige, dass $$ g: \mathbb R -> \mathbb R , g(x) := x*f(x) $$ eine im Nullpunkt stetig Funktion definiert wird.

Problem/Ansatz:

Ich sitze an dieser Frage schon seit Tagen, jedoch komme ich da überhaupt nicht weiter. Wie löse ich die Aufgabe bzw. was ist die Lösung?

Answer 1

Du musst nur zeigen, dass \(\lim\limits_{x\to0} g(x) = 0 =g(0)\) ist.
Nun gilt:

$$0\leq| xf(x)|\leq |x| M\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}0$$

Da offensichtlich \(g(0) = 0\) ist, sind wir fertig.

Comments

In der Aufgabenstekkung wird dann D=ℝ angenommen, ist so also schon vollständig

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Ah. Stimmt. g startet ja in D= R.

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Ändert das was an der Lösung oder muss dann noch was angepasst werden?

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Meine Lössung ist schon entsprechend angepasst. Hab den Hinweise bzgl. D entfernt, da D = R.