Zeigen Sie, dass durch g(x) := x · f(x) eine im Nullpunkt stetige Funktion definiert wird.

Question

Aufgabe:

(a) Es sei f : R → R eine beschränkte (nicht notwendigerweise stetige) Funktion. Zeigen Sie, dass durch g(x) := x · f(x) eine im Nullpunkt stetige Funktion definiert wird.

(b) Finden Sie eine Funktion h: R → R, die im Nullpunkt stetig und sonst überall unstetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme hierbei leider überhaupt nicht weiter und wäre wirklich um jede Hilfe sehr dankbar

Comments

Hello, für die a) verwendest du das Epsilon-Delta Kriterium und verwendest die Beschränktheit deiner Funktion, also das Supremum exe für f :D

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b) arbeite mit 0 und 1 als werte die deine Funktion annimmt und mit x aus rationale Zahlen und irrationale Zahlen

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Ok ok, um ehrlich zu sein bin ich immer noch überfordert, trotz der Hilfe deinerseits. Könnten wir a einmal zusammen durchgehen? Wäre wirklich sehr hilfreich!

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Na klar :)

Also deine Definition ist ja die Stetigkeit in 0 zu zeigen, dass für alle epsilon ein Delta existiert, sodass für alle x aus R: |x-0| - > Ig(x)-g(0)I < eps

Ok das rechts müssen wir irgendwie mit Delta abschätzen. Da steht aber |g(x)|= |x*f(x)| = |x| * |f(x) | aber |f(x) | kannst du wegen beschränkheit durch Supremum von f abschatzen, dann hast sup|f| * |x| aber |x| kannst du durch Delta abschätzen und dann durch epsilon. Also schreibst noch am Anfang hin wähle Delta <= epsilon/sup |f| und done