Beweisen Sie die asymptotische Äquivalenz

Question

Sei n ∈ ℕ. Für beliebige Funktionen  f, g : ℕ →ℝ, schreibt man “f ∼ g für  n → ∞”,
falls lim_n→∞f(n)/g(n) = 1. Beweisen Sie die asymptotische Äquivalenz

n! ∼√(2πn)*nⁿe⁻ⁿ  für  n → ∞

indem Sie die folgende Aussagen zeigen:

n! = ∫₀^∞  xⁿe^−x dx

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Titel: Beweisen Sie die asymptotische Äquivalenz 2

Stichworte: äquivalenz,asymptote,funktion

Sei n ∈ ℕ. Für beliebige Funktionen  f, g : ℕ →ℝ, schreibt man “f ∼ g für  n → ∞”,
falls limn→∞f(n)/g(n) = 1. Beweisen Sie die asymptotische Äquivalenz

n! ∼√(2πn)*nne−n  für  n → ∞

indem Sie die folgende Aussagen zeigen:

∫₀^∞ xⁿ e^−xdx = n ⁿ⁺¹e⁻ⁿ ∫₋₁ ^∞ e ^{n(ln(1+y)−y)} dy

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Ich denke das ist identisch zu https://www.mathelounge.de/542247/beweisen-sie-die-asymptotische-aquivalenz#a542374, oder?

Answer 1

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunktsn%C3%A4herung