Partielle Ableitungen von f(x) := (x^3*y - x*y^3)/(x^2 + y^2) falls (x,y)≠(0,0), f(0,0):= 0

Question

Hallo allerseits.

Also meine Frage ist, wie sich eine Partielle Ableitung 2. Ordnung in einem bestimmten Punkt verhält. Beispielsweise die funktion

f(x) ={  (x^3*y - x*y^3)/(x^2 + y^2) falls (x,y) ≠ (0,0) ; 0 Sonst}

davon hab ich die die beiden Partiellen Ableitungen bestimmt ((dydx)f(x,y) / (dxdy)f(x,y)), also einmal nach x und einmal nach y abgeleitet. Diese beiden sind auch gleich, sollen Sie auch, nach dem Vertauschungssatz von Schwarz. Aber (dxdy)f(0,0) und (dydx)f(0.0) sollen angeblich verschieden sein. Aber wenn ich mal so drauf losreche kommt doch bei beiden null raus, weil ich ja jeweils für x oder y 0 einsetze. Wie kann ich das machen ?

MfG und danke für jedwede Hilfe.

Comments

Im Nullpunkt wirst Du die Ableitungen schon zu Fuss ausrechnen muessen, d.h. als Limes von Differenzenquotienten.

Andererseits kann man sich sogar das noch sparen, wenn man aus der Definition \(f(x,0)=f(0,y)=0\) für alle \(x\) bzw. alle \(y\) entnimmt. Dann ist \(f_x(x,0)=0\) und \(f_y(0,y)=0\), also \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\). Zusammen mit dem, was Du ausgerechnet, aber nicht angegeben hast, sieht man wieder \(f_x(0,y)=-y\) und \(f_y(x,0)=x\) für alle \(y\) bzw. \(x\). Das macht dann \(f_{xy}(0,y)=-1\) und \(f_{yx}(x,0)=1\), speziell eben \(f_{xy}(0,0)=-1\) und \(f_{yx}(0,0)=1\).

Answer 1

Eigentlich ist die Sache ja von Fakename schon beantwortet. Wenn du es allerdings über

die Differenzenquotienten machen willst, dann verwende deine Ergebnisse, die

müssten sein

f_x(x,y)=(x^4+4x^2*y^2-y^4)*y/(x^2+y^2)^2 und f_y(x,y)=(x^4-4x^2*y^2-y^4)*x/(x^2+y^2)^2

und im Nullpunkt jeweils 0.

Für f''_xy(0,0) musst du dann ja den Grenzwert für h gegen 0 betrachten von

f_x' (0,h) - f_x'(0,0) )  / h   =   ( (0+0-h^4)*h / (0+h^2)^2  )  / h  = -h^5/h^5 = -1

also auch Grenzwert -1 und damit f''_xy(0,0) = -1 .

Entsprechend ergibt sich

f_y' (h,0) - fy'(0,0) )  / h   =   ( (h^4+0-0)*h / (h^2 +0)^2  )  / h  = h^5/h^5 = 1

Also das gleiche Ergebnis wie im Kommentar.

Comments

vielen Dank für die Antwort ist auch alles verständlich finde ich.

Aber wenn ich doch die Ableitung zweiter Ordnung in (0,0) haben will, wieso betrachte ich nicht schon bei der ersten Ableitung den Punkt (0,0)? Also wenn ich die ersten Ableitungen habe einfach partiell mit dem Diff.quotienten ableiten wobei eines dann auf 0 gesetzt wird,

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Die ersten partiellen Ableitungen im Nullpunkt ergeben dann

mit der gleichen Methode jeweils 0. Bruachst du auch, weil bei

der 2. Ableitung ja f'_x(0,0) = 0m benutzt wird.

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Vielen dank für die tolle Erklärung!