Falls alle partiellen Ableitungen von f existieren, dann ist f stetig. - Falsch. Warum?

Question

Falls alle partiellen Ableitungen von f existieren, dann ist f stetig.

Ich bin beim Lernen auf diese Ankreuzaufgabe gestoßen, bei der man wahr oder falsch ankreuzen soll. Hab gedacht, die Aussage wäre wahr, ist sie laut Lösung aber nicht und ich verstehe nicht wieso. Kann es mir jemand erklären und/oder ein Gegenbeispiel bringen? (f von Rⁿ  nach R^m)

Danke.

Answer 1

Fuer Stetigkeit in einem Punkt braucht man zusaetzlich alle Punkte in einer Umgebung. Fuer partielle Differenzierbarkeit in einem Punkt braucht man nur zusaetzliche Punkte in Richtung der Einheitsvektoren. Mit dieser elementaren Erkenntnis solltest Du sofort ein Gegenbeispiel angeben koennen.

Comments

Jo das hab ich mir sogar auch noch gedacht. Die Funktion von R^2 nach R, die im ersten quadrant die 1,und sonst (eingeschlossen den Achsen) die 0 abbildet ist im Punkt (0,0) doch zb. Partiell diffbar aber nicht stetig.

Aber im Punkt (0,1)ist sie ja nicht mehr partiell diffbar und um das Beispiel zu widerlegen braucht man ja eine Funktion, die überall partiell diffbar, aber nicht überall stetig ist, oder?

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Die genaue Frage hast Du nicht angegeben. Wenn Du eine Funktion suchst, die ueberall partiell differenzierbar, aber nicht ueberall stetig ist, dann laesst sich dafuer auch ein Beispiel angeben. Spontan faellt mir ein: $$f(z):=\begin{cases}e^{-1/z^4}&\text{fuer $z\ne0$,}\\0&\text{fuer $z=0$.}\end{cases}$$ Dabei soll \(z\in\mathbb{C}\) mit \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) identifiziert werden. Entsprechend \(f(z)=(u(x,y),v(x,y))\). Die partiellen Ableitungen existieren ueberall, insbesondere auch im Nullpunkt, aber da ist \(f\) nicht stetig. Arbeite das mal durch.