zeigen, dass die partielle Ableitungen existieren, aber die Funktion nicht differenzierbar ist

Question

f(x,y)= xy/(x^2+y^2) für (x,y) ungleich (0,0)

           0                   für (x,y) ist gleich (0,0)

zeigen, dass die partielle Ableitungen in (0,0) existieren, aber die Funktion nicht differenzierbar ist

Answer 1

zeigen, dass die partielle Ableitungen in (0,0) existieren

z.B.

$$ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \frac{0}{h} = 0 $$

aber die Funktion nicht differenzierbar ist

Ist die Funktion in (0,0) stetig?

Comments

Ich glaube, dass sie lautdem Skriptum nicht stetig ist. Weil es steht, dass man entlang jeder Niveaulinie gegen einen anderen Funktionswerten strebt. Wenn eine Funktion stetig ist, sollten die Funktionswerte ja gegen f(xo) streben, oder nicht?

ich weiß aber nicht, ob das, wie ich es verstanden habe, richtig ist. ;(

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Wenn die Funktion stetig in (0,0) wäre, würde$$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0 $$

gelten. Für alle Folgen \( ((x_n, y_n))_{n\in\mathbb{N}} \) die gegen (0,0) konvergieren müsste also$$ f(x_n,y_n) \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 $$

Wenn wir aber z.B. die Folge \( ((x_n, y_n))_{n\in\mathbb{N}} =\left( \left(  \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)\right)_{n\in\mathbb{N}} \) betrachten, dann konvergiert diese offenbar gegen (0,0), aber

$$ \begin{aligned} f\left(x_n,y_n\right) &= f \left(  \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) = \frac{\frac{1}{n}\frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{1}{n}\right)^2 } \\&= \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n^2}} = \frac{1}{2} \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2} \neq 0 \end{aligned} $$

Somit ist die Funktion nicht stetig in (0,0)