Ich versuche den den untenstehenden Sachverhalt zu beweisen, aber es gelingt mir nicht.
Es geht um folgendes
Es seien X1 und X2 Mengen, und es seien Teilmengen A1,A2 ⊆ X1 sowie A2,B2 ⊆ X2 gegeben. Dann ist
$$ (A_1\times A_2)\cup(B_1\times B_2) \subseteq (A_1\cup B_1)\times(A_2\cup B_2).$$
Weil hier die Teilmengeneigenschaft vorliegt, kann diese Aussage auch als Implikation aufgefasst werden.
Meine Idee war nun, den linken Ausdruck solange umzuformen, bis ich rechts rauskomme. Aber das klappt bei mir nicht. Was übersehe ich?
Sei (x1,x2) ∈ X1 x X2. Dann ist
$$ (A_1\times A_2)\cup(B_1\times B_2)=\{(x_1,x_2): (x_1\in A_1 \land x_2\in A_2)\lor(x_1\in B_1 \land x_2\in B_2)\}\\=\{(x_1,x_2): ((x_1\in A_1 \land x_2\in A_2)\lor x_1\in B_1)\land((x_1\in A_1 \land x_2\in A_2)\lor x_2\in B_2)\}\\=\{(x_1,x_2): (x_1\in A_1 \lor x_1 \in B_1)\land(x_1\in B_1\lor x_2\in A_2)\land(x_1\in A_1 \lor x_2 \in B_2 )\land(x_2\in A_2\lor x_2\in B_2)\}=...\Rightarrow \{(x_1,x_2):(x_1\in A_1 \lor x_1\in B_1)\land(x_2\in A_2 \lor x_2\in B_2)\}=(A_1\cup B_1)\times(A_2\cup B_2).$$
Bei den drei Punkten hinter dem Implikationspfeil hab ich keine Ahnung, welche Umformungen sinnvoll wären, um rechts rauszukommen.