Beweis von Kartesischem Produkt

Question

Wahr oder falsch? Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) P({1,2}x{1,2}) = P({1,2}) x P({1,2})

(b) Seien A, B, C, D beliebige Teilmengen einer beliebigen Grundmenge G. Dann gilt:(A x B) ∪ (C x D) = (A ∪C) x (B ∪ D).

Bei (a) dachte ich mir, dass man es mit Hilfe des kartesischen Produktes nachweisen kann und es anhand eines Beispiels widerlegen oder nachweisen kann.

Answer 1

P({1,2}x{1,2}) = P({1,2}) x P({1,2})

{1,2}x{1,2}= { (1;1),((1;2),(2;1),(2;2) }

P({1,2}x{1,2}) ist also die Menge, die die leere Menge

enthält und ansonsten lauter Mengen, deren Elemente Paare

mit 1en und 2en als Komponenten sind.

P({1,2}) x P({1,2}) enthält aber z.B. das Paar ( {} ; {} ),

also sind die nicht gleich.

Das zweite stimmt auch nicht:

Gegenbeispiel A={1}  B={2}  C={3}  D={4}

A∪C = {1;3}    B∪D = {2;4}

(A ∪C) x (B ∪ D) enthält z.B. (1;4) .

(A x B) ∪ (C x D) aber nicht.