Beweis Mengengleichheit mit kartesischem Produkt und Komplement

Question

Aufgabe:

Beweis Mengengleichheit mit kartesischem Produkt und Komplement

Es seien A, B, C, D Mengen, wobei A und C bzw. B und D Teilmengen einer Obermenge X
bzw. Y seien. Man zeige:

(A × B) \ (C × D) = ((A \ C) × B) ∪ (A × (B \ D))

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich das zeigen soll.

Das grundsätzliche Prinzip die Mengengleichheit zu beweisen, habe ich verstanden aber ich habe leider überhaupt keinen Ansatz mit dem kartesischen Produkt.

Ich hoffe es kann mir jemand einen Denkanstoß geben

Danke schonmal im Voraus :)

Answer 1

Das grundsätzliche Prinzip die Mengengleichheit zu beweisen, habe ich verstanden

Na dann mal los:

Sei K ∈  (A × B) \ (C × D)

==>    K ∈  (A × B)    und K  ∉ (C × D)

wegen K ∈  (A × B)  gibt es a∈A und b∈B mit K=(a,b)

wegen K ∉ (C × D)  folgt  a∉C oder b∉D

( a∈A und b∈B )  und (a∉C oder b∉D)   mit Distributiv für und/oder

( a∈A und b∈B und a∉C)    oder   ( a∈A und b∈B und  b∉D) 

<=> ( a∈A und a∉C und b∈B )    oder   ( a∈A und b∈B und b∉D)

<=>   ( a∈A\C und b∈B )    oder   ( a∈A und b∈B\D)

<=>  K ∈ (A\C) x B     oder     K ∈ A x (B\D)

Also hat man K∈        (A\C) x B     ∪    K ∈ A x (B\D)

Damit ist die eine Inklusion bewiesen.

Versuche die andere !

Comments

super vielen vielen Dank, ja ich hab den anderen Teil geschafft :) ich hab nur den Denkanstoß gebraucht :)

Answer 2

Sei \((x,y) \in (A \times B) \setminus (C \times D)\).

Dann ist

(1)        \((x,y) \in A \times B\)

und

(2)        \((x,y) \notin C \times D\)

laut Definition von "\(\setminus\)". Außerdem ist

(3)        \(x\in A\)

und

(4)        \(y\in B\)

und

(5)        \(x\notin C\) oder \(y\notin D\)

laut Definition von "\(\times\)".

Fall 1: \(x\notin C\).

Wegen (3) ist dann

(6)        \(x\in A\setminus C\).

Wegen (4) und (6) ist

(7)        \((x,y)\in (A\setminus C)\times B\)

Fall 2: \(y\notin D\)

TODO Zeige, dass dann \((x,y)\in A\times (B\setminus D)\) ist. Zusammen mit (7) folgt dann, dass

        \((A \times B) \setminus (C \times D) \subseteq ((A \setminus C) \times B) \cup (A \times (B \setminus D))\)

ist. Du musst dann noch zeigen, dass auch

        \(((A \setminus C) \times B) \cup (A \times (B \setminus D))\subseteq (A \times B) \setminus (C \times D)\)

ist.

Comments

Vielen Dank dir :) hab es geschafft