Zeige, dass A gleichmächtig zum kartesischen Produkt M × M ist.

Question

Aufgabe:

A := {f | f : {0, 1} → M Abbildung gleichmächtig wie M x M?

Sei M eine Menge und A := {f | f : {0, 1} → M Abbildung}.
Zeige, dass A gleichmächtig zum kartesischen Produkt M × M ist.
Problem/Ansatz:

eine bijektive Abbildung finden von A nach M x M

wie kann ich so eine auf Tupel finden?

Comments

Nimm mal irgendein M, sagen wir die natürlichen Zahlen. Dann definiere mal irgendeine Abbildung \(f:\{0,1\} \to M\).....

---

Zum Beispiel die Identität?

Answer 1

Du brauchst ja eine bijektive Abbildung, die jedem

\(f:\{0,1\} \to M\) ein Element aus MxM zuordnet, also ein Paar (x,y) mit x,y∈M.

Oder eben eine die jedem Paar (x,y) mit x,y∈M eine Abbildung \(f:\{0,1\} \to M\) zuordnet.

Das zweite könnte doch so gehen: Nenne die Abbildung g und definiere

        \(g: MxM  \to A\)

  g(x,y) =  \(f:\{0,1\} \to M\) mit f(0)=x und f(1)=y .

Zeige die Bijektivität und du bist fertig.

Comments

Also gibt es zwei Möglichkeiten?

---

Wenn es eine bijektive Abb. von A nach MxM gibt,

dann auch andersherum; denn die Umkehrabb. ist auch bijektiv.

Du brauchst also nur eine.

Hier wäre die Umkehrung ja g^(-1) : A → MxM

                         ( \(f:\{0,1\} \to M\) )  ↦ ( f(0) , f(1) )

---

Und wie zeige ich die Bijektivität?

---

zum Beispiel bei der letzten Version "injektiv" etwa so

Seien f,h ∈ A mit g^(-1)(f) =  g^(-1)(f)

==>   ( f(0) , f(1) )  =  ( h(0) , h(1) )

Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden

Komponenten übereinstimmen, also

         f(0) = h(0)  und f(1) = h(1) .

Zwie Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie gleiche

Definitions- und Zielbereiche haben ( Ist für f und h erfüllt

beide {0,1} und MxM ) und in allen Elementen des

Def.bereiches den gleichen Wert haben. Das ist erfüllt

wegen        f(0) = h(0)  und f(1) = h(1) .

Also   f=h .             q.e.d.

Versuch mal "surjektiv" selber .

---

Ist die Tatsache, dass eine Umkehrfunktion gibt, nicht Beweis dafür dass es surjektiv ist?

---

Ja,

wenn die Umkehrfunktion auf der ganzen Zielmenge definiert ist .

---

Reicht das als Beweis?

---

Ich würde das mit der Umkehrung rauslassen,

dafür hast du ja quasi nur mein Wort.

Zeige doch unmittelbar nach der Def.

g^(-1) : A → MxM  mit   ( \(f:\{0,1\} \to M\) )  ↦ ( f(0) , f(1) )

ist surjektiv.

---

g^-1(f(0)) = 0 und g^-1(f(1)) = 1?

---

Nein, so:

Sei (a,b) ∈ MxM.

Definiere die Abb. \(f:\{0,1\} \to M\)

durch f(0)=a und f(1)=b .

Dann ist f∈A mit g^(-1) (f) = (a,b).

Also gibt es zu jedem (a,b) ∈ MxM

ein f∈A mit g^(-1) (f) = (a,b).

Also g^(-1) surjektiv.