Beweis und Darstellung von Kartesischen Produkten

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben seien Mengen } X \text { und } Y \text { mit Teilmengen } M \subset X \text { und } N \subset Y . \text { Das kartesische }} \\ {\text { Produkt } M \times N \text { fassen wir als Teilmenge der Grundmenge } X \times Y \text { auf. Zeigen Sie, dass im }} \\ {\text { allgemeinen }} \\ {\qquad(M \times N)^{c} \neq M^{c} \times N^{c} \text { . }} \\ {\text { Finden Sie eine korrekte Darstellung von }(M \times N)^{c} \text { als Vereinigung von kartesischen }} \\ {\text { Produkten von } M, N \text { sowie ihren Komplementen, und beweisen Sie diese. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Also ich werde meine Ansätze jetzt mal einzeln durchgehen:

Ich hab verstanden das das Komplement eines Kartesischen Produkts ungleich dem Kartesischen Produkt von zwei Komplementen ist.

Die einzige Darstellungsmethode die mir für ein Kartesisches Produkt einfällt ist eine Tabelle.

Nun zu den Problemen:

Ich weiß nicht genau wie ich den Beweis angehe mit dem ich zeige das die zwei Kartesischen Produkte nicht das gleiche sind.

Ich weiß nicht genau wie ich das Kartesische Produkt von den zwei Mengen darstellen soll wenn die Mengen nicht definiert sind wie in diesem Fall und wie ich das Komplement zeige und beweise.

Wäre Nett wenn mir jemand damit helfen könnte.

Answer 1

Ein Beispiel X={1,2,3,4}; Y={1,2,3}; M={1,2,3}; N={1,2}. Dann ist

X×Y= {(1,1);(1,2);(1,3)

           (2,1);(2,2);(2,3)

           (3,1);(3,2);(3,3)

           (4,1);(4,2);(4,3)}

M×N={(1,1);(1,2)

           (2,1);(2,2)

           (3,1);(3,2)}

(M×N)^c={(1,3);(2,3);(3,3);(4,1);)4,2);(4,3)}

M^c={4};  N^c={3}; M^c×N^c={(4,3)}≠(M×N)^c (direkt darüber).