Beweis Ungleichung mit Produkt

Question

Hallo :)

Und zwar soll ich folgendes für alle x_i  ≥ 1 zeigen:

\( \prod \limits_{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right) \geq \frac{2^{n}}{n+1}\left(1+\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right) \)

Jetzt bin ich so weit, dass ich mithilfe von Induktion (Induktionsanfang sollte klar sein) darauf kam:

$$ \frac{2^{n}}{n+1}+\frac{2^{n}}{n+1}\sum \limits_{i=1}^{n+1}x_i \: + \frac{2^{n}x_{n+1}}{n+1} \sum \limits_{i=1}^{n}x_i $$

Wenn ich jetzt "von der anderen Richtung rechne, dann komme ich auf:

$$ \frac{2^{n+1}}{n+2}+\frac{2^{n+1}}{n+2}\sum \limits_{i=1}^{n}x_i \: + \frac{2^{n+1}x_{n+1}}{n+2} $$.

Insgesamt also

$$ \frac{2^{n}}{n+1}+\frac{2^{n}}{n+1}\sum \limits_{i=1}^{n+1}x_i \: + \frac{2^{n}x_{n+1}}{n+1} \sum \limits_{i=1}^{n}x_i $$ ≥ $$ \frac{2^{n+1}}{n+2}+\frac{2^{n+1}}{n+2}\sum \limits_{i=1}^{n}x_i \: + \frac{2^{n+1}x_{n+1}}{n+2} $$

Ab da komme ich nicht mehr weiter. Was meint ihr: vorher ein Fehler oder kann man das zeigen? Oder gibt es vielleicht sogar eine bessere Variante als Induktion?

Bin über Hilfe sehr dankbar.

LG

Answer 1

Hallo,

ich führe mal die Abkürzung s für die Summe der x_i bis n ein, und x für x_(n+1). Dann lässt sich das Produkt bis n+1 mit der Induktionsvoraussetzung nach unten abschätzen:

$$\frac{2^n}{n+1}(1+s)(1+x)$$

Gewünscht wäre die Ungleichun

$$\frac{2^n}{n+1}(1+s)(1+x) \geq \frac{2^{n+1}}{n+2}(1+s+x)$$

Äquivalent lässt sich das Umformen durch Division von 2^n und Multiplikation mit (n+1)(n+2). Dann steht links

$$(n+2)(1+s)(1+x)=(n+2)(1+s+x)+nsx+sx+sx $$

$$\geq (n+2)(1+s+x)+ns+n+nx=(2n+2)(1+s+x)$$

Bei der Ungleichung wurde ausgenutzt, dass alle x_i größer gleich 1 sind und daher s größer gleich n.

Gruß Mathhilf