Beweis von einem Produkt aus vier aufeinander folgenden Zahlen, welches durch 16 teilbar sein soll.

Question

Aufgabe:

Zu betrachten sind a, b, c, x, y ∈ Z. Beweisen Sie:

Zu betrachten sind vier aufeinander folgende gerade natürliche Zahlen. Dann ist deren Produkt
durch 16 teilbar.

Problem/Ansatz:

Liebe Community,

ich weiss leider nicht ganz weiter, ich habe bisher folgenden Ansatz:

Es ist von vier aufeinander folgenden ganzen Zahlen auszugehen. Sei n ∈ ℕ.
Dann sind n, n + 1, n + 2, n + 3 und n + 4 die gefragten vier aufeinander folgenden ganzen Zahlen, die weiterhin beliebig sind.
Daraus ergibt sich folgender Term: n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) = 6n^4

Ich bin mir leider nicht ganz sicher, wie ich weiter machen soll, um den Fall hier zu beweisen, da hier nach dem Produkt gefragt wird, welches durch die Zahl 16 teilbar sein soll.

Ich hoffe jemand kann mir helfen und bedanke mir herzlich.

Answer 1

Es ist von vier aufeinander folgenden ganzen Zahlen auszugehen

nein

Es ist von vier aufeinander folgenden geraden natürlichen  Zahlen auszugehen

Das wäre sowas wie 2n 2n+2  2n+4  2n+6

            =  2n  2(n+1)   2(n+2)    2(n+3)

Produkt also 2n * 2(n+1) * 2(n+2)  *  2(n+3)

               = 16 *n*(n+1) * (n+2)  *  (n+3).

Comments

Hmm ich glaube ich verstehe es einigermassen.

Jedoch weiss ich leider nicht wie ich k (###) waehlen soll?

Oder ist das hier nicht noetig?

Gewaehlt wird k := ###, folgt 2n * 2(n+1) * 2(n+2) * 2(n+3) = 16 * n * (n+1) * (n+2) * (n+3)
Damit is ∃k ∈ ℕ : 16 * k = 2n * 2(n+1) * 2(n+2) * 2(n+3) wahr.
Es gilt also 16|(2n * 2(n+1) * 2(n+2) * 2(n+3)), womit der Beweis vollendet ist.

Bin ich damit denn soweit richtig?

Und danke fuer eure Antorten @döschwo, @mathef, @MontyPython :)

Answer 2

Zu betrachten sind vier aufeinander folgende gerade natürliche Zahlen. Dann ist deren Produkt durch 16 teilbar.

Hallo,

2n*2(n+1)*2(n+2)*2(n+3)

=16*n(n+1)(n+2)(n+3)

:-)