Teilmengeneigenschaft von kartesischem Produkt beweisen

Question

Ich versuche den den untenstehenden Sachverhalt zu beweisen, aber es gelingt mir nicht.

Es geht um folgendes

Es seien X₁  und X₂  Mengen, und es seien Teilmengen A₁,A₂ ⊆ X₁ sowie A₂,B₂ ⊆ X₂ gegeben. Dann ist

$$ (A_1\times A_2)\cup(B_1\times B_2) \subseteq (A_1\cup B_1)\times(A_2\cup B_2).$$

Weil hier die Teilmengeneigenschaft vorliegt, kann diese Aussage auch als Implikation aufgefasst werden.

Meine Idee war nun, den linken Ausdruck solange umzuformen, bis ich rechts rauskomme. Aber das klappt bei mir nicht. Was übersehe ich?

Sei (x₁,x₂) ∈ X₁ x X₂. Dann ist

$$ (A_1\times A_2)\cup(B_1\times B_2)=\{(x_1,x_2): (x_1\in A_1 \land x_2\in A_2)\lor(x_1\in B_1 \land x_2\in B_2)\}\\=\{(x_1,x_2): ((x_1\in A_1 \land x_2\in A_2)\lor x_1\in B_1)\land((x_1\in A_1 \land x_2\in A_2)\lor x_2\in B_2)\}\\=\{(x_1,x_2): (x_1\in A_1 \lor x_1 \in B_1)\land(x_1\in B_1\lor x_2\in A_2)\land(x_1\in A_1 \lor x_2 \in B_2 )\land(x_2\in A_2\lor x_2\in B_2)\}=...\Rightarrow \{(x_1,x_2):(x_1\in A_1 \lor x_1\in B_1)\land(x_2\in A_2 \lor x_2\in B_2)\}=(A_1\cup B_1)\times(A_2\cup B_2).$$

Bei den drei Punkten hinter dem Implikationspfeil hab ich keine Ahnung, welche Umformungen sinnvoll wären, um rechts rauszukommen.

Comments

Hast du versucht, ein Beispiel im Koordinatensystem zu zeichnen?

Links der Gleichung kannst du z.B. zwei Rechtecke haben, die sich teilweise überschneiden.

Rechts der Gleichung ist das dann nur noch ein (grösseres) Rechteck, das beide Rechtecke von vorher überdeckt.

Dieses Bild dann irgendwie in deine Punkte übersetzen(?)

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A₁,A₂ ⊆ X₁ sowie A₂,B₂ ⊆ X₂

Das kommt mir sehr suspekt vor. Wer drei mal A sagt, der sollte auch drei mal B sagen.

Können wir uns vielleicht auf zwei mal A und zwei mal B einigen? Aber wo?

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Stimmt, darauf bin ich noch nicht gekommen. Habe das mal so hier gemacht:

$$ X_1=X_2=\mathbb{R}\\A_1=[0,3]\\B_1=[1,4]\\A_2=[0,6]\\B_2=[3,9] $$

Rotes Rechteck $$ A_1\times A_2 $$

Blaues Rechteck $$ B_1\times B_2 $$

Grünes Rechteck $$ (A_1\cup A_2)\times (A_2\cup B_2)=[0,6]\times [0,9] $$

Ok, hier ist mir dann klar, dass $$ (A_1\times A_2)\cup(B_1\times B_2) $$ eine Teilmenge (sogar echte) von $$ (A_1\cup A_2)\times (A_2\cup B_2) $$ ist, da beide das rote und grüne zusammen weniger Fläche einnehmen, als das grüne Rechteck. Nur wie kann ich das jetzt allgemein betrachten?

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@ oswald

Danke. Ich hab mich vertippt. Es sollte richtig so sein:

$$ A_1,B_1\subseteq X_1\quad \text{sowie} \quad  A_2,B_2\subseteq X_2 $$ War zusehr darauf konzentriert, die Zahlen als Indizes ranzuschreiben. ^^

Answer 1

Hallo

Sei \( A \subseteq A' \) und \( B \subseteq B' \), dann gilt \( A \times B \subseteq A' \times B' \) (einfach, ist sogar eine Äquivalenz)

Jetzt ist \( A_1 \subseteq A_1 \cup B_1 \) und \( A_2 \subseteq A_2 \cup B_2 \), also \( A_1 \times A_2 \subseteq (A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2) \). Analog begründet man, dass \( B_1 \times B_2 \subseteq (A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2) \). Fertig.