(i) P ist idempotent, d.h. P ° P = P.
Sei nun U := Bild(P) und y∈U.
==> Es gibt ein x∈V mit y = P(x) . Wegen P ° P = P
==> P(y) = P(P(x))
Wegen P ° P = P also P(y) = P(P(x)) = P(x)
und wegen y=P( x) also P(y) = y.
also: (ii) Die Einschränkung von P auf U := Bild(P) ist die Identität, d.h. P|U = IdU .
(ii)==> (iii):
Gilt nun (ii) , dann wähle außerdem W= Kern(P).
Dann sind jedenfalls U und W Unterräume
von V und es gilt für alle v∈V v-P(v) ∈ W ; denn es ist
P( v-P(v) ) = P(v) - P(P(v)) = P(v) - P(v) = 0
[ denn P(P(v)) = P(v) da P(v) ∈ U ]
Also sind mit w = v-P(v) und u = P(v) Elemente aus
W und U gefunden mit v=w+u , also V=W+U .
Und sind nun u∈U =Bild(P) und w∈W=Kern(P) gegeben,
dann gilt P(u+w) = P(u) + P(w) = u + 0 = u.
(iii) ==> (i):
Es existieren Unterräume U, W ⊂ V , so dass U + W = V und P(u + w) = u fur alle u ∈ U
und w ∈ W.
Sei v∈V. Wegen U + W = V gibt es u∈U und w∈W mit v=u+w.
==> P(P(v)) = P(P(u+w)) = P(u) #
[wegen P(u + w) = u fur alle u ∈ Uund w ∈ W].
Und 0∈W ==> P(u)=P(u+0) = u
Andererseits wegen der Linearität von P gilt
P(u) = P(v+(-w)) aber mit w ist auch -w aus W, also
= P(v) .
Damit ergibt #: P(P(v)) = P(v) f. alle v∈V. q.e.d.
