Kern, Bild, dimKern, dimBild bestimmen

Question

Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen jeweils Kern( L3 ), Bild(L3), dim(Kern(L3 ))
und dim(Bild(L3 )).

L3 : V ⊕ V → V , (v, w) → v − w, wobei dim(V ) = n sei.

Jemand eine Idee, wie das zu machen ist?

Answer 1

L3 : V ⊕ V → V , (v, w) → v − w, wobei dim(V ) = n sei.

(x,y) ∈ Kern(L3)

<=>    x-y = 0

<=>     x=y

==>  Kern(L3) = { (x,x) | x∈V }  , also   dim(Kern(L3)) = n

x ∈ Bild(L3)

<=>   ∃ v,w ∈ V  v - w = x

Das ist aber für jedes x der Fall ( etwa mit v=x und w=0 )

also    Bild(L3) = V   also auch dim(Bild(L3) ) = n.