Neutralelemente und Inverse eines Homomorphismus

Question

(* bedeutet Verknüpfung)

Sei f: G->K ein Homomorphismus der Abelschen Gruppen (G, *_G) und (K,*_K). Zeige:

a) Für die Neutralelemenete e_G∈G und e_K∈K gilt f(e_G )=e_K

b) Ist x' das Inverse von x∈G, so ist f(x') das Inverse von f(x)

Wie muss ich die Aufgabe lösen?

Answer 1

a)

\(\begin{aligned}f(e_G) &= f(e_G)\mathbin{*_K}e_K = f(e_G) \mathbin{*_K} \left(f(e_G) \mathbin{*_K} \left(f(e_G)\right)^{-1}\right) \\ & = \left(f(e_G)\mathbin{*_K} f(e_G)\right)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1} = f(e_G\mathbin{*_G} e_G)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1} \\ & =f(e_G)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1}=e_K\end{aligned}\)

Bzw. kann man das eventuell einfacher sehen, wenn man \(f(e_G)=f(e_G\mathbin{*_G}e_G)=f(e_G)\mathbin{*_K}f(e_G)\) rechnet und dann mit dem Inversen \((f(e_G))^{-1}\) von \(f(e_G)\in K\) verknüpft.

b)

Sei \(x'\) das Inverse von \(x\in G\). Dann ist \(f(x)\mathbin{*_K} f(x') = f(x\mathbin{*_G}x')=f(e_G)=e_K\) bzw. \(f(x')\mathbin{*_K} f(x) = f(x'\mathbin{*_G}x)=f(e_G)=e_K\text{.}\) Daher ist dann \(f(x')\) das Inverse von \(f(x)\).