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(* bedeutet Verknüpfung)

Sei f: G->K ein Homomorphismus der Abelschen Gruppen (G, *G) und (K,*K). Zeige:

a) Für die Neutralelemenete eG∈G und eK∈K gilt f(eG )=eK

b) Ist x' das Inverse von x∈G, so ist f(x') das Inverse von f(x)


Wie muss ich die Aufgabe lösen?

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a)

f(eG)=f(eG)KeK=f(eG)K(f(eG)K(f(eG))1)=(f(eG)Kf(eG))K(f(eG))1=f(eGGeG)K(f(eG))1=f(eG)K(f(eG))1=eK\begin{aligned}f(e_G) &= f(e_G)\mathbin{*_K}e_K = f(e_G) \mathbin{*_K} \left(f(e_G) \mathbin{*_K} \left(f(e_G)\right)^{-1}\right) \\ & = \left(f(e_G)\mathbin{*_K} f(e_G)\right)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1} = f(e_G\mathbin{*_G} e_G)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1} \\ & =f(e_G)\mathbin{*_K}\left(f(e_G)\right)^{-1}=e_K\end{aligned}

Bzw. kann man das eventuell einfacher sehen, wenn man f(eG)=f(eGGeG)=f(eG)Kf(eG)f(e_G)=f(e_G\mathbin{*_G}e_G)=f(e_G)\mathbin{*_K}f(e_G) rechnet und dann mit dem Inversen (f(eG))1(f(e_G))^{-1} von f(eG)Kf(e_G)\in K verknüpft.

b)

Sei xx' das Inverse von xGx\in G. Dann ist f(x)Kf(x)=f(xGx)=f(eG)=eKf(x)\mathbin{*_K} f(x') = f(x\mathbin{*_G}x')=f(e_G)=e_K bzw. f(x)Kf(x)=f(xGx)=f(eG)=eK.f(x')\mathbin{*_K} f(x) = f(x'\mathbin{*_G}x)=f(e_G)=e_K\text{.} Daher ist dann f(x)f(x') das Inverse von f(x)f(x).

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