Question

Bestimmen Sie im Ausdruck (x+y^2+z)^15 die Koeffizienten vor den Monomen x^6 y^10 z^4 , x^5 y^8 z^6 und x^6 y^8 z^6 .

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Titel: Koeffizienten und Monome

Stichworte: lineare,algebra

Bestimmen sie im Ausdruck (x+y^2+z)^15 die Koeffizienten vor den Monomen

x^6*y^10*z^4,       x^5*y^8*z^6    und      x^6*y^8*z^6.

Ich verstehe nicht was mit der Aufgabe gemeint ist. Könnte sie mir jemand erklären.

Answer 1

Du sollst die Koeffizienten vor den gesuchten Ausdrücken angeben.

comb(15, 6) * comb(9, 5) = 630630

comb(15, 5) * comb(10, 4) = 630630

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Versuche mal in Erfahrung zu bringen was der Unterschied zwischen einem Bicycle und einem Monocycle ist.

Versuche dann in Erfahrung zu bringen was der Unterschied zwischen einem Binom und einem Monom ist.

Versuche dann in Erfahrung zu bringen was der Unterschied zwischen einem Polynom, einem Binom und einem Monom ist.

Ich hoffe jetzt sind die grauen Zellen etwas aktiviert.

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Also ein Monom ist ein einziges Element bestehend aus einem Koeffizienten und einer unbekannten. Aber davor ist doch sozusagen immer eine 1,

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Was ist denn

(3a + 2b)^2

bzw. was ist

3a + 2b

Und was ist dann

3a

und was ist

2b

???

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Ich verstehe grade leider gar nicht wie es gemeint ist

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So wie es dort steht.

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Also (3a+2b)^2 ist (9a^2+12ab+4b^2) aber wie geht es nun weiter

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Eigentlich wollte ich nur hören: (3a + 2b)^2 ist das Quadrat eines Binoms. Zum Ausmultiplizieren verwendet man daher auch die binomischen Formeln.

Die binomischen Formeln beschäftigen sich also mit dem Vereinfachen von Binomen. Eigentlich ganz schön clever was Worte schon über die Dinge aussagen.

Also ist 3a + 2b ein Binom.

Ein Binom ist wie die Vorsilbe bi von 2 abgeleitet. Also etwas was auch 2 Dingen besteht. Bicycle heißt ja auch übersetzt Zweirad und ist damit etwas was aus zwei Rädern besteht.

3a und 2b sind die einzelnen Teile und insofern Monome. Man kann auch a als Monom sehen und 3 als Koeffizient vor diesem Monom.

So etwas Licht ins Dunkle gebracht?

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Das bedeutet doch dann das zb auf die Aufgabe x^6*y^10*z^4 ist ein Monom. Und die Koeffizienten sind 1 wegen 1x zb.

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x^6 * y^10 * z^4 ist auf jeden Fall ein Monom. Hier noch ohne Koeffizient, weil nach dem ja gefragt ist. Wär ja blöd, wenn er dann schon dabei stehen würde oder?

Da obige Monom samt Koeffizient entsteht wenn man (x + y^2 + z)^15 ausmultipliziert. Und nun ist nach dem Koeffizienten gefragt.

Also so wenn ich beim Ausdruck (a + b)^2 nach dem Koeffizenten vor dem Monom "ab" fragen würde. Dann würde die Antwort vermutlich 2 lauten weil:

(a + b)^2 = a^2 + 2*ab + b^2

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und wie multipliziere ich das nun aus? mit dem paskalschen dreieck?

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Weißt du das die Zeilen im Pacalschen Dreieck eigentlich über Binomialkoeffizienten entstehen?

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Ich stehe hier grade glaube ich sehr auf dem Schlauch könnten sie mir vielleicht beim ersten Beispiel zeigen wie das nun funktioniert.

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Hab ich doch oben bereits gemacht.

Nimm vielleicht mal (x + y + z)^5 und multipliziere es aus. Was fällt dir zunächst an den entstehenden Monomen auf?

Gibt es ein Monom x^5 und wie ist der Koeffizient davon?

Gibt es ein Monom x^4*y und wie ist der Koeffizient davon? Warum ist dieser Koeffizient so. Der Koeffizeint zählt etwas. Was zählt er?

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ok dann mache ich es jetzt einfach so wie sie es ganz oben gemacht haben weiter da ich den rest nicht weiter verstehe.

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wie sind sie auf das ergebnis 630630 gekommen ? und was bedeutet comb?

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comb(n, k) ist der Binomialkoeffizient (n über k).

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Also berechne ich

comb(15,8)*comb(5,9)

comb(15,10)*comb(7,7)

für y

comb(15,4)*comb(11,3)

comb(15,6)*comb(9,5)

für z

und dann bin ich fertig? ist das richtig

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was meinst du mit y und z?

Schau dir doch mal die Expanded Form an

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2By%5E2%2Bz)%5E15

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Also erhalte ich beim 1. 630630 als Koeffizienten beim 2. auch und beim 3. 0 weil man dazu nichts findet.

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Genau. aber die Angaben standen ja auch schon in meiner Lösung. Wobei das natürlich gelöst wurde ohne den Term auszumultiplizieren und zu vergleichen. Aber es kann helfen einen vereinfachten Term auszumultiplizieren und sich daran zu überlegen wie die Koeffizienten zustande kommen.

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@ant12 kannst du mal deine Lösung hier reinstellen? Sitze an der gleichen Aufgabe und stehe genauso auf dem Schlauch wie du :D 

das wäre sehr nett, danke. :)

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Wäre immer gut, wenn du sagst, was du nicht verstehst.