LGS 3 Unbekannten mit 2 Gleichungen

Question

Hallo :)

a)LGS: 5x1-x2-x3=-3

x1-x2+x3=-9

Ich habe versucht das Lgs durch Gauß Verfahren zu lösen, und indem ich x1 durch t ersetzt habe. Jedoch stimmen meine Lösungen mit den richtigen Lösungen nicht überein.

In den Lösungen steht: L(t; 3t+6; 2t-3) tℝ

Wie kann ich es denn auch richtig lösen? :/

b)Geben sie jeweils eine Lösung an, bei der x1;x2;z3 nur positive bzw. negative Zahlen sind.

Wie kann ich denn das herausfinden?

Answer 1

   Ach wir kennen uns ja schon; hier lernst dj gleich meinen Spezialtrick kennen.  Du hast ja ganz typisch diese Aussage

  

" Allgemeine Lösung des LGS =  ===>  Kern  +  Sonderlösung "  (  1  )

   Bestimmen wir also erstmal den Kernvektor

     5  x1  -  x2  -  x3  =  0    |     :   x1       (  2a  )

         x1  -  x2  +  x3  =  0    |    :  x1        (  2b  )

          Dieser Divisionstrick schlägt gleich zwei Fliegen mit einer Klappe;  da das GS  homogen ist, rechts Null steht,  bleibt es trotz der Division linear.  Und zweitens gelten zwei Unbekannte im Gegensatz zu dreien als beherrschbar; für die neuen Unbekannten vergebe ich noch die Definitionen

        X2  :=  x2 / x1  ;  X3  :=  x3 / x1      (  3  )

    Dann lauten ( 2ab )

       X2  +  X3  =  5       (  4a  )

      X2  -  X3  =  1     (  4b  )

    ( 4ab ) ist der Prototyp eines  LGS ; die Lösung ist immer die selbe:

    X2  =  aritm. Mittelw.  (  1  ;  5  )  =  3     (  5a  )

    X3  =  halbe  Diff.  (  5  ;  1  )  =  2     (  5b  )

     und der Kernvektor

     v  =  (  1  |  3  |  2  )     (  5c  )

   Freilich ist Division durch x nur zuzlässig, falls es keinen Kernvektor mit x1 = 0 gibt.  Diese Bedenken sind  aber unbegründet, weil für x1 = 0 das LGGS  ( 2ab ) linear unaabhängig ist.

   Da ich von dem Ausgangssystem ja nicht mehr die allgemeine, sondern nur eine Sonderlösung benötige, ist es auch hier zulässig, x1 zu eliminieren bzw. Null zu setzen.

     x2  +  x3  =  3        (  6a  )

     x2  -  x3  =  9     (  6b  )

     x2  =  6  ;  x3  =  (  -  3  )      (  7  )

Comments

Warum schreiben Sie extra so verwirrend und nicht einfach eindeutig?

---

    Mein spezialtrick ist nunmal mein Spezialtrick.  Genau wie jeder, der ein SUDOKU oder ein Zahlenrätsel geknackt hat, besonders stolz ist, wenn er  eine kreative  Idee hatte,   auf die vor  ihm noch niemand gekommen ist.

   Alles übrige, was ich aussage,   ist Grundwissen aus der  AGULA  Vorlesung.

   Nehme ich deine Kritik wörtlich, so wirfst du mir doch vor, dass meine Darlegungen nicht eindeutig seien.  In welchen meiner Ableitungen erkennst du Mehrdeutigkeiten?  Wäre ich mal neugierig, wie du das wahr nimmst.  Sag es ganz offen; und tu dir keinen Zwang an.

    Jetzt sagst du, du bist verwirrt.  Müsstest  du auch näher spezifizieren, welche Aussagen dich verwirren;   dann kann ich rauf näher eingehen .

---

Ich habe hier "nur" eine Mathefrage gestellt, demnach erwarte ich hier keine Antworten, die mit irgendwelchen "Spezialtricks" geschmückt sind. Viel lieber sind mir Antworten mit logischen Erklärungen.

---

   Abermals reagierst du mit einem Vorwurf .   Ich würde ja verstehen, wenn du sagst, du  ziehst z.B. Metode  A gegenüber  B vor.   Gerade mich zeichnet das ja aus; das ist dann immer das Ende jeder Diskussion.

   Aber du bist eine ganz wagemutige.  Du hältst mir vor,  es gebe  da etwas  Unlogisches in meinen Aussagen.  Da wär ich doch mal gespannt, was das sein soll.

Answer 2

5x1-x2-x3=-3

x1-x2+x3=-9

mit Gausss: (1. plus zweite)

        5x1-x2-x3=-3
        6x1-2x2  =-12

Dann x1 frei wählen, etwa x1=t gibt in

#der 2. Gleichung   6t -2x2 = -12

                              -2x2 = -12 - 6t

                                 x2 = 6 + 3t

Beides in die erste Einsetzen gibt

                                   x3=2t-3

nur positive Lösungen bedeutet

t>0      3t+6>0      2t-3>0

t>0      3t>-6      2t>3

t>0      t>-2     t>1,5

Für t>1,5 ist alles erfüllt, also nimm z.B t=2 gibt

( 2 ; 12 ; 1 )

Comments

Danke :) Nur verstehe ich jetzt den zweiten Teil nicht, also wie man auf t>1,5 kommt?

---

2t > 3       | :2

 t > 1,5