Kombinatorik. An einer brutalen Schlacht nahmen 100 Piraten teil. Mindestens 70

Question

Kann mir jemand bei dir Aufgabe helfen

Aufgabe 27. [5 Punkte] An einer brutalen Schlacht nahmen 100 Piraten teil. Mindestens 70 von ihnen haben dabei ein Auge verloren, mindestens 75 ein Ohr, mindestens 80 einen Arm und mindestens 85 ein Bein. Was ist die kleinstmögliche Zahl von Kämpfern, die gleichzeitig ein Auge, ein Ohr, einen Arm und ein Bein verloren haben?

Comments

Zeichne dir einmal ein Venn-Diagramm!

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Hm... wie soll man denn den Hinweis "gleichzeitig" verstehen?

Gib doch bitte mal die Quelle der Aufgabe an!

Answer 1

Hier ist wohl eine große Diskussion gestartet worden. Ich versuche mal meinen Lösungsweg zu erklären:

Du suchst das Minimum von \(A∩AU∩O∩B\) und einer Gesamtmenge \(|\Omega| =100\).

A=Arm

AU=Auge

O=Ohr

B=Bein

\(A∩AU∩O∩B\) ist einfach:$$A∩AU∩O∩B=|\Omega| - |(A∩AU∩O∩B)^c|$$ Und das lässt sich umschreiben zu:$$|\Omega|-|A^c∪AU^c∪O^c∪B^c| ≥ |\Omega| -(|A^c|+|AU^c|+|O^c|+|B^c|)$$ Im Klartext heißt das jetzt:$$100-(30+25+20+15)=10$$

Achso. Falls du es nicht verstehst:

X^c:=Ω\X

Comments

Hallo Wurzel,

Was ist die kleinstmögliche Zahl von Kämpfern, die gleichzeitig ein Auge, ein Ohr, einen Arm und ein Bein verloren haben?

Dein Ergebnis ist 10.
Wie bist du dort hingekommen ?
Wir suchen die Schnittmenge. Soweit klar.
Aber dann mit dem Betragzeichen und hoch c ?

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Das ist die Komplementärmenge auf Bezug von Ω.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Komplement_(Mengenlehre)

Wie aus dem Durchschnitt auf einmal Verneinung wird findest du hier: "DeMorgansche Gesetz":

https://de.m.wikipedia.org/wiki/De_Morgansche_Gesetze

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Mein Glückwunsch zur einfachen Lösung. Auch nach Studium deiner Links verstehe ich nur Bahnhof. Kannst du Beizeiten die Berechnungen / Überlegungen ausführlicher darstellen.

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Das ist doch ganz einfach!

|X^{c}| = |Ω\X| ist genau dasselbe wie |Ω|-|X|

\(X\) ist hier eine Teilmenge der Grundmenge. Eine Teilmenge könnte sein "davon kein Auge". Und X^c berechnet man mit Gesamtmenge-Teilmenge:

X=Auge

Auge=100-70=30

Du beschreibst mit Auge^c genau das!

Noch ein Beispiel:

X=Bein

Bein=100-85=15

B^c=15

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In Worten ( so ungefähr )
Mindestens 70 von ihnen haben dabei ein Auge verloren, mindestens 75 ein Ohr, mindestens 80 einen Arm und mindestens 85 ein Bein.
70 Auge futsch - 30 haben noch beide Augen
75 kein Ohr - 25 haben noch beide Ohren
80 kein Arm - 20 haben beide Arme
85 kein Bein - 15 haben beide Beine
so sieht die Skizze aus

Was ist die kleinstmögliche Zahl von Kämpfern, die
gleichzeitig ein Auge, ein Ohr, einen Arm und ein Bein
verloren haben?

Ich komme hier nicht auf den Schluß das für die übrigen 10  obiges gilt.

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ich denke ich habs jetzt.

Die Bezeichnungen sind nicht ganz korrekt.
Macht aber nichts.
Sind alle Verletzungen ( 4 ) eingezeichnet bleibt
in der Mitte 10 übrig.

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Georg,

Nochmal wegen deinen Diagrammen.

Ich empfehle dir Venn-Diagramme zu zeichnen. Die Diagramme, die du malst sind etwas naja... wie soll ich sagen, anders... Der liebe John Venn hat da schon eine gute Methode gefunden. Das ist das Venn-Diagramm für 4 Mengen, mit Ellipsen, um es übersichtlicher zu machen.

Für fünf Mengen sieht es übrigens so aus:

Und für 6 Mengen, wo ich es schon fast gar nicht mehr erkenne:

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Mengen-Aufgaben mit Venn Diagrammen kommen nicht so häufig vor. Wenn dann höchstens einmal mit 3 Kreisen. Meine letzten 3 Skizzen sind sehr einfach, bilden den Sachverhalt genau ab und sind für die Beantwortung der Frage ausreichend.

Answer 2

Hallo

 mit gleichzeitig heisst wohl in derselben Schlacht.

zeichne ein Rechteck Fläche 100, färbe 85% blau für Bein, 80% 75%orange für Ohr und 80% grün für Augen. wieviel überlappt sich mindestens?

Gruß lul

Comments

Hallo abs(u),
ich denke du hast " Arm " vergessen.

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Werter G.

Deine Bemerkung hätte vielleicht nicht  ich denke du hast " Arm " vergessen  sondern eher "Mach doch bitte nicht so viel auf einmal, da komme ich nicht mit" lauten sollen sollen.

Also langsam :
Zunächst mal nur Bein und Ohr :  Wenn von 100 Piraten mindestens 85 ein Bein verloren haben und mindestens 75 ein Ohr, dann geht das doch ganz offensichtlich nur dann, wenn sich diese beiden Mengen so überlappen, dass mindestens 85+75 - 100  =  60  Piraten beider Körperteile verlustig gegangen sind.

Weiter :
Nehmen wir jetzt zu diesen mindestens 60 Invaliden noch jene mindestens 70 Piraten hinzu, die ein Auge (hoffentlich war das nicht schon ihr zweites) verloren haben, dann ergibt ein zu oben analoger Schluss, dass mindestens 60+70 - 100  =  30   Piraten dreifach lädiert sein müssen.

Und schließlich :
Auch unter diesen mindestens 30 müssen welche sein, die einen Arm (mindestens 80) einbüßten, weil es ja (wie schon erwähnt) nur insgesamt 100 Teilnehmer an der Schlacht gab. Insgesamt also mindestens 30+80 - 100  =  10  Piraten mit denen wirklich nicht mehr allzuviel anzufangen ist.

Answer 3

Statt

100-((100-70)+(100-75)+(100-80)+(100-85))

= 100-(30+25+20+15) = 10

kann man auch gleich 

(70+75+80+85)-(400-100) = 10

rechnen, dann muss man nicht so viele Komplemente bilden.

(vgl. dazu auch die zweite Bonferroni-Ungleichung mit beiden Varianten)