Fläche in Abhängigkeit von der Geraden x=u bestimmen

Question

Hallo :)

Die Teilaufgabe lautet:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(2x+1)*e^-x

a) Der Graph von f schließt mit der x-Achse und der Geraden x=u (mit u>-0,5) eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt A(u) dieser Fläche in Abhängigkeit von u. Zeigen Sie, dass für alle Werte von u A(u)<2*√e gilt.

Also ich würde erstmal die Nullstelle mit der x-Achse ausrechnen. Aber wie ich auf der Geraden u komme, um den Flächeninhalt ausrechnen zu können ist mir unklar. Auch weiß ich nicht, wie ich  A(u)<2*√e beweisen soll.

b) P(0/(f(0)), Q(u/0) und R(u/(f(u)) bilden ein Dreieck. Berechnen Sie, für welchen Wert von u der Inhalt dieses Dreiecks maximal wird. (Hier vielleicht irgendwie Maximum ausrechnen?)

Bitte möglichst einfach erklären, wie man die Aufgabe lösen kann (notwendig für meine Prüfung). Denn die Lösungen dazu habe ich, verstehe sie jedoch nicht.

Answer 1

f ( x ) = ( 2x+1 ) * e ^{-x}
Nullstelle
Satz vom Nullprodukt anwenden
( 2x + 1 ) = 0
x = -1/2 | Integrationsanfang
e ^{-x} kann nie null werden.

x = u ist einfach nur eine sekrechte Gerade an
der Stelle u. ( Integrationsende )

Stammfunktion von f ( x )
S ( x ) = -e^{-x} * (2*x + 3)
( wie man diese bildet ist vielleicht nicht so
wichtig. Ist ein wenig schwer )

[ S ( x ) ] zwischen -0.5 und u
-e^{-(-0.5)} * (2*(-0.5) + 3)  minus -e^{-u} * (2*u + 3)
-e^{-0.5} * ( -1 + 3 ) minus (-e^{-u} * (2*u + 3) )
A ( u ) = -e^{-0.5} * 2 + e^{-u} * (2*u + 3)

lim u −> ∞ [  -e^{-0.5} * 2 + e^{-u} * (2*u + 3) ]
e^{-∞} * (2*∞ + 3) ergibt 0
lim u −> ∞ [  -e^{-0.5} * 2 ] = [  e^{0.5} * 2 ] = √ e * 2

Der Grenzwert lim u −> ∞ = √ e * 2
Alle Werte vor u = ∞ sind kleiner.
A ( u ) < √ e * 2

Die Aufgabe ist aber schon recht schwierig.
Ob so eine schwere Aufgabe in deiner Prüfung
kommt weiß ich nicht.
Was ist das für eine Prüfung ?
Aus welcher Prüfung stammt die Aufgabe ?

Comments

Danke für den Rechnungsweg :) Ich werde jetzt mal sehen ob ich das auch so nachvollziehen kann/selber so rechnen kann.

Die Aufgabe ist vom Mathebuch, eine ähnliche Aufgabe kam jedoch gestern bei der mündlichen Abiturprüfung dran. Und da ich morgen auch meine mündliche Abiprüfung habe, wollte ich sicher gehen, dass ich auch eine solche Aufgabe verstehe.

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Zunächst die Skizze.

Dreieck = Grundseite mal Höhe
A ( u ) = u * f ( u )
A ( u ) = u * (2*u+1) * e^{-u}
A ( u ) = ( 2u^2 + u ) * e^{-u}
Maximum : 1.Ableitung bilden
A ´( u ) = e ^{-u} * (- 2*u^2 + 3*u + 1)
Extremwert
e ^{-u} * (- 2*u^2 + 3*u + 1) = 0
Satz vom Nullprodukt
- 2*u^2 + 3*u + 1 = 0
Mitternachtsformel, pq-Formel, oder quadr.Ergänzung
u = 1.78

Aufgabe b.) ist auch nicht ganz ohne.

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Ich kenne Abitur-Matheaufgaben
Diese ist als schwer / mittelschwer einzustufen.

Viel Erfolg für morgen.

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Wir haben im Unterricht eher einfachere Aufgaben gemacht, deshalb habe ich sie am Anfang gar nicht lösen können.

Danke :) Ich habe den Lösungsweg verstanden außer bei Grenzwert lim, das finde ich irgendwie rätselhaft. Vielleicht können Sie mir das "einfacher" erklären?

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Meine Meinung
Man sollte nicht 1 Tag vor dem Mathe-Abitur
anfangen zu lernen.

Hinweis : bei
http://www.abiturloesung.de/
gibt es in schriftlicher Form : Abiturklausuren ( Grund- und Leistungskurs ) deren Lösungen
Schritt für Schritt sowie Unterrichtsstunden auf Video dazu. Ich konnte dort eine Menge lernen.

lim u −> ∞ [  -e ^{-0.5} * 2 + e-u * (2*u + 3) ]
Wenn u gegen unendlich geht dann heißt es
e-∞ * (2*∞ + 3)
0 * ∞ ergibt in diesem Fall 0
weil die e-Funktion schneller gegen 0 geht
als 2x gegen unendlich.
Damit entfällt der Term + e-u * (2*u + 3)
Übrig bleibt
lim u −> ∞ [  -e ^{-0.5} * 2 ]
e ^{1/2} * 2
√ e * 2
-----------
√ e * 2 ist der max.Grenzwert für die Fläche.
Bei allen Werten vor u = ∞ ist die
Fläche kleiner.

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Danke für ihre Erklärung :)

Und nein ich habe nicht heute oder gestern angefangen zu lernen, sondern früher. Jedoch hatte ich bei den anderen Themen/Aufgaben kaum Fragen.

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Alles Gute für die Prüfung.

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lim _{u −> ∞}  [  -e^-0.5 * 2 ] = [  e^0.5 * 2 ] = √ e * 2

lim _{u −> ∞} [  - e^-0.5 * 2 ]  =  - 2 /√e    

Vorher ergibt aber die Rechnung  e^0,5 · 2 

[ S ( x ) ] zwischen -0.5 und u
- e-(-0.5) * (2*(-0.5) + 3)  minus - e^-u * (2*u + 3)

$$ \int_{-0,5}^{u} \! f(x) \, dx = F(u) - F(-0,5)$$

Man muss die obere Grenze u zuerst einsetzen!

Answer 2

Zu a) Dein Plan mit der Nullstelle ist gut.xn=1/2

Stell dir vor, u sei eine Zahl und berechne ∫[(2x+1)*e^-x] in den Grenzen von -1/2 bis u. Zur Kontrolle: 3,3 - (2u+3)/e^u.

Comments

Edit:  x_N = - 1/2