Potenzreihe, geometrische Reihe

Question

kann jemand mir bei diese Aufgaben mir helfen. Danke.

Verwenden Sie das Cauchyprodukt, um die folgenden Aussagen zu beweisen:

(a) Ist ∑^∞_n=0 a_nxⁿ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ > 0, so hat die Potenzreihe ∑^∞_n=0 (a₀ + a₁ + . . . + a_n)xⁿ
mindestens Konvergenzradius min{1,ρ}. Innerhalb des Konvergenzradius gilt :
X^∞_n=0(a₀ + a₁ + . . . + a_n)xⁿ =1 / 1 − x ∑^∞_n=0 a_nxⁿ.

Tipp: Schreiben Sie 1 /1−x als geometrische Reihe.

(b) Für y ∈ (−2, 0) gilt ∑^∞_n=0  (n + 1)( y + 1)ⁿ =1 / y²

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Mit Cauchyprodukt eine Aussage beweisen

Stichworte: cauchy,potenzreihe,cauchyprodukt

kann mir jemand bei diesem beweis helfen?

VG

---

Vom Duplikat:

Titel: Cauchyprodukt und Konvergenzradius

Stichworte: cauchy,reihe,produkt,potenzreihe,konvergenz

Verwenden Sie das Cauchyprodukt, um die folgenden Aussagen zu beweisen:
(a) Ist P∞
n=0
an x
n
eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ > 0, so hat die Potenzreihe P∞
n=0
(a0 + a1 + . . . + an
)x
n
mindestens Konvergenzradius min{1,ρ}. Innerhalb des Konvergenzradius gilt
X∞
n=0
(a0 + a1 + . . . + an
)x
n =
1
1 − x
X∞
n=0
an x
n
.
Tipp: Schreiben Sie 1
1−x
als geometrische Reihe.
(b) Für y ∈ (−2, 0) gilt P∞
n=0
(n + 1)( y + 1)
n =
1
y
2
.

---

Siehe hier

https://www.mathelounge.de/543754/potenzreihe-geometrische-reihe#a543967

Answer 1

Es gilt

$$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \cdot \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty x^n = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k \right) x^n  $$ anwenden der Formel für das Cauchyprodukt.

Damit gilt für den Konvergenzradius \( r = \min(1,\rho) \)