Gleichheit zweier Produkte beweisen: Π 2n-k+1 = 2^n · Π 2k-1

Question

Ich versuche die Gleichheit zweier Produkte aus reinem Interesse zu beweisen, verliere mich da aber im Induktionsschritt.

Behauptung:

$$ \forall \ n \in \mathbb{N_{>0}}: \prod_{k=1}^n{2n-k+1}=2^n\cdot\prod_{k=1}^n{2k-1} \quad (*)$$

Induktionsanfang:

$$ \text{Sei } n_0=1. \text{ Dann ist }\\ \prod_{k=1}^1{2\cdot1-k+1}=\prod_{k=1}^1{3-k}=3-1=2=2\cdot 1=2\cdot(2\cdot 1-1)=2\cdot\prod_{k=1}^n{2k-1}=2^1\cdot\prod_{k=1}^n{2k-1}\\ \text{ für n=1 wahr.}$$

Induktionsschritt:

-Angenommen, es gibt eine natürlicher Zahl, sodass (*) erfüllt ist.

-Dann gilt dies auch für n+1,also das gilt:

$$ \prod_{k=1}^{n+1}{2n-k+1}=2^n\cdot\prod_{k=1}^{n+1}{2k-1} $$

-Dies zeigt man so:

$$ \prod_{k=1}^{n+1}{2n-k+1}=\Bigg(\prod_{k=1}^n{2n-k+1}\Bigg) \cdot(2n-(n+1)+1)\stackrel{(*)}{=}\Bigg(2^n\cdot\prod_{k=1}^n{2k-1}\Bigg)\cdot n\\=\Bigg(2^n\cdot\prod_{k=1}^{n+1}{2k-1}\Bigg)\cdot n \cdot \frac{1}{2(n+1)-1}=\Bigg(2^n\cdot\prod_{k=1}^{n+1}{2k-1}\Bigg)\cdot \frac{n}{2n+1}$$

Aber hier fängts an zu knirschen und komme nicht weiter.

Comments

Im Induktionsschritt muss in der zu zeigenden Behauptung n überall durch n+1 ersetzt werden.

Answer 1

$$ \prod_{k=1}^{n+1}{2(n+1)-k+1}$$

Indexverschiebung

=$$\prod_{k=-1}^{n-1}{2n-k+1}$$

erste Faktoren einzeln

=$$ (2n+2)(2n+1)\prod_{k=1}^{n-1}{2n-k+1}$$

letzten Faktor ergänzen

$$=\frac{ (2n+2)(2n+1)}{n+1}\prod_{k=1}^{n}{2n-k+1}$$

Jetzt kürzen und die Ind. vor.  benutzen !

$$=2*(2n+1)*2^n *\prod_{k=1}^{n}{2k-1}$$

$$=2^{n+1} *\prod_{k=1}^{n+1}{2k-1}$$   Bingo!

Comments

Indexverschiebung scheint dann hier wohl ganz perfekt zu klappen.

Ich denke nach paar Übungen sollte man den Dreh auch dann raus haben.

Auf jeden Fall :)