Schnittpunkt einer Geraden und Ebene

Question

Die Gerade h und die Ebene E schneiden sich in genau einem Punkt. Die Gerade h besitzt den Richtungsvektor u = (r/s/1) (Vektorschreibweise) und die Ebene E1 die Koordinatengleichung E1: 3x+2y+4z=12.

Für welche Werte von r und s schneidet h die Ebene E1 orthogonal?

Comments

Also bis jetzt habe ich die Koordinatenform in die Parameterform umgewandelt und E:x= (4/0/0) + r * (2/-3/0) + s * (0/-4/2) erhalten. Ich verstehe auch, dass ich die Richtungsvektor im Skalarprodukt auf die Orthogonalität untersuche, aber welchen Richtungsvektor verwende ich? Und was mache ich dann, da ich ja zwei Unbekannte habe?

Oder muss ich erst r und s bestimmen und so meinen Richtungsvektor der Geraden vervollständigen?

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Der Richtungsvektor allein legt noch keine Gerade fest. Hast du keinen Stützvektor oder sonst irgendeine Information?

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Ok, das ist für die vorgelegte Frage ohnehin unerheblich.

Wähle r und s so, dass u ein Vielfaches des Normalenvektors (3|2|4) der Ebene E ist. Die Parameterform von E benötigst du dann nicht.

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Also wäre mein Vektor u=( 0,75/0,5/1) weil es mal 4 den Normalenvektor ergeben würde?

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Ja.

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Answer 1

Deinem Kommentar nach geht die Gerade durch (4|0|0) und hat folglich die Gleichung (x|y|z)=(4|0|0)+k(r|s|1). Die Ebene hat die Gleichung (x|y|z)·(3|2|4)=12. Da die Gerade orthogonal zur Ebene ist, gilt 3r+2s+4=0.Wenn man die Gerade in die Ebene einsetzt, entsteht [(4|0|0)+k(r|s|1)]·(3|2|4)=12 und daraus kann man folgern 3(4+kr)+2ks+4k=12. Mach was draus.