Taylorentwickling des Logarithmus: Aussagen dazu nachweisen

Question

Hallo liebe Leute, ich hänge bei einer Aufgabe zur Taylorentwicklung des ln(x):

a.) und b.) hab ich bereits geschafft. Der Konvergenzradius ist (0,2x0] wenn ich mich nicht verrechnet haben sollte. Jetzt scheitere ich seit längerem am c.), weil ich es nicht schaffe zu zeigen, dass das Restglied nach Lagrange für alle x aus K gegen 0 geht, bei n->oo. Dann würde direkt die zu zeigende Aussage folgen. Mit der Bitte um Hilfe,

Mathstiger

Answer 1

bei b) hast du lediglich nur den Konvergenzbereich angegeben.

$$ x \in ]0,2\cdot x_0] , \quad x_0\text{  ist der Entwicklungspunkt.} \Rightarrow p=x_0$$

Restgliedabschätzung

$$ \text{Für } x\in]0,2\cdot x_0] \text{ und einem } \xi \text{ zwischen } x \text{ und } x_0 \text{ ergibt sich:} $$

$$ |R_n(x)|=\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot(x-x_0)^{n+1} \Bigg|=\Bigg|(-1)^{n+2}\cdot \frac{n!}{\xi^{n+1}}\cdot \frac{1}{(n+1)!}\cdot(x-x_0)^{n+1} \Bigg|\\\leq \Bigg|\frac{1}{(n+1)\cdot\xi^{n+1}}\cdot(x-x_0)^{n+1} \Bigg|\leq\Bigg|\frac{1}{(n+1)\cdot x_0^{\ n+1}}\cdot(2x_0-x_0)^{n+1} \Bigg|=\Bigg|\frac{1}{n+1}\Bigg|=\frac{1}{n+1}\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$$

Also gilt $$ \lim_{n \to \infty}{R_n(x)}=0 \Longrightarrow \forall x \in K: T_f(x;x_0)=f(x). $$