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also ich wusste nicht genau wie ich vorgehen soll, deshalb hab ich einfach mal rumprobiert und festgestellt, dass wenn man f(x) = x - x2/2 setzt und g(x) = ln(1+x) setzt bei den Taylorpolynomen jeweils x und x - x2/2 rauskommt. Ich kann mir durchaus vorstellen, dass das sehr mit dem Ergebnis zusammenhängt aber ich verstehe nicht was meine Zwischenergebnisse bedeuten (oder sind diese tatsächlich schon das Ergebnis??). Sollte ich völlig falsch liegen, wie gehe ich dann sonst am besten vor?

schon mal danke für die Hilfe

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)Könnte jemand erklären, wie man auf diese Taylorpolynome kommt?

Ich benutze die Formel Tn(x)=f(x0)+f´(x0)(x-x0)+\( \frac{1}{2!} \)f´´(x0)(x-x0)+ ... +\( \frac{1}{n!} \)f(n)(x-x0)

Und erhalte für f´(x)=\( \frac{1}{1+x} \)  und f´´(x)=- \( \frac{1}{(x+1)^2} \)

Und somit T1(x)= \( \frac{x}{1+x} \) und T2(x)= \( \frac{x}{1+x} \)- \( \frac{x}{2((x+1)^2)} \)


Kann mir jemand sagen, was ich falsch mache?

Deine Tn sind keine Polynome. In deiner Formel heißt es f'(x0) und f''(x0) aber nicht f'(x) und f''(x). Setze für x0 jeweils 0 ein. Dann kommst du auf die korrekten Tn.

Achso, jetzt verstehe ich, danke dir!

1 Antwort

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Die Ungleichung, die Du beweisen sollst, liest sich als $$T_{2,0}(x)<\ln(1+x)<T_{1,0}(x).$$ Wegen $$\ln(1+x)=T_{1,0}(x)+R_{1,0}(x)\quad\text{und}\quad\ln(1+x)=T_{2,0}(x)+R_{2,0}(x)$$ muss $$R_{1,0}(x)<0\quad\text{und}\quad R_{2,0}(x)>0\quad\text{fuer $x\in\left]0,\infty\right[$}$$ sein. Zeige das durch Abschaetzung der Restglieder.

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Das Restglied ist nicht von \( x \) sondern von einer Variablen zwischen \( 0 \) und \( x \) abhängig. Also \( \xi \in (0,x) \)

Es ist \(\xi=\xi(x)\). Das Restglied ist eine Funktion von \(x\) und nur von \(x\).

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